[论文解读] Transitivity of Surface Dynamics Lifted to Abelian Covers

Philip Boyland|ArXiv.org|Apr 14, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文建立了紧致曲面上相对伪阿诺索夫映射的三个条件之间的等价性：(a) $H_1$-混合性，(b) 诱导作用在第一同调上的谱半径为一，以及 (c) 在到通用阿贝尔覆叠上的提升不稳定叶层中存在稠密叶。证明依赖于通过旋转集和有限提升性质，对有限型转移子系统之 twisted ${\mathbb{Z}}^d$-扩张的混合性进行刻画。

ABSTRACT

A homeomorphism f of a manifold M is called H_1-transitive if there is a transitive lift of an iterate of f to the universal Abelian cover M. Roughly speaking, this means that f has orbits which repeatedly and densely explore all elements of H_1(M). For a rel pseudo-Anosov map ϕof a compact surface M we show that the following are equivalent: (a) ϕis H_1-transitive, (b) the action of ϕon H_1(M) has spectral radius one, and (c) the lifts of the invariant foliations of ϕto M have dense leaves. The proof relies on a characterization of transitivity for twisted \Z^d-extensions of a transitive subshift of finite type.

研究动机与目标

• 使用代数、动力系统和拓扑不变量，刻画紧致曲面上相对伪阿诺索夫映射的 $H_1$-混合性。
• 建立映射在 $H_1(M)$ 上作用的谱半径与其中心阿贝尔覆叠上提升的混合性之间的确切联系。
• 确定提升的不稳定叶层在通用阿贝尔覆叠中何时成为稠密的。
• 将已知的关于扭曲斜积的结果推广到由相对伪阿诺索夫动力系统产生的非平凡同调扭曲情形。

提出的方法

• 通过旋转集和有限提升性质，刻画有限型转移子系统之 twisted ${\mathbb{Z}}^d$-扩张的混合性。
• 使用 Fried 商构造分析通用阿贝尔覆叠上提升的动力学。
• 应用旋转向量和旋转集的概念，形式化混合性所必需的“所有方向”条件。
• 利用符号模型与提升流形之间的拟等距关系，将覆叠上的动力学与同调行为联系起来。
• 将有限提升性质作为关键工具，确保在适当条件下，基空间中的混合性可推出覆叠中的混合性。
• 运用 Baire 簇定理证明：当至少存在一条稠密叶时，其不稳定叶在通用覆叠中稠密的点集是一个稠密的 $G_\delta$-集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，相对伪阿诺索夫映射 $\phi$ 是 $H_1$-混合的？
• RQ2 映射在 $H_1(M)$ 上作用的谱半径如何与其中心阿贝尔覆叠上提升的混合性相关？
• RQ3 提升的不稳定叶层在通用阿贝尔覆叠中何时成为稠密的？
• RQ4 提升动力学的旋转集在决定混合性方面起什么作用？
• RQ5 有限提升性质能否用于刻画有限型子系统非平凡扭曲扩张中的混合性？

主要发现

• 相对伪阿诺索夫映射 $\phi$ 是 $H_1$-混合的，当且仅当 $\phi_*$ 在 $H_1(M)$ 上的谱半径恰好为一。
• 若 $\phi_*$ 的谱半径为一，则存在一条提升的不稳定叶层 $\tilde{\mathcal{F}}^u$ 的叶在通用阿贝尔覆叠 $\tilde{M}$ 中稠密。
• 当 $\phi$ 是 $H_1$-混合时，$\tilde{M}$ 中其不稳定叶稠密的点集是一个稠密的 $G_\delta$-集。
• 即使非平凡叶在 $\tilde{M}$ 中不稠密，它们也总是无界的。
• 即使谱半径为一，提升叶层中也始终包含非稠密的非平凡叶。
• 若 $\rho(\phi_*) \neq 1$，则提升叶层中没有任何一条叶在 $\tilde{M}$ 中稠密。