[论文解读] Translatable radii of an operator in the direction of another operator II

Kallol Paul|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2010

Matrix Theory and Algorithms参考文献 3被引用 18

一句话总结

本文研究了可翻译半径 $ M_T(A) $，其定义为希尔伯特空间上有界线性算子 $ T $ 和 $ A $ 的情况下，$ Tf $ 相对于 $ Af $ 的正交分量范数的上确界。文章建立了广义特征值问题 $ Tf = \lambda Af $ 中单位向量为平稳距离向量的充要条件，并通过将 $ M_T(A)^2 $ 表示为包含 $ T^*T $、$ A^*T $ 和 $ A^*A $ 的泛函在状态上的上确界，推广了威廉姆斯定理，从而将谱理论与数值域理论扩展至方向性算子扰动的情形。

ABSTRACT

One of the couple of translatable radii of an operator in the direction of another operator introduced in earlier work[13] is studied in details. A necessary and sufficient condition for a unit vector f to be a stationary vector of the generalized eigenvalue problem $ Tf = λA f $ is obtained. Finally a theorem of Williams[16] is generalized to obtain a translatable radius of an operator in the direction of another operator.

研究动机与目标

• 刻画广义特征值问题 $ Tf = \lambda Af $ 中使 $ Tf $ 偏离特征向量程度最小或最大的向量。
• 在广义设定下，建立单位向量为平稳距离向量的必要且充分条件。
• 将威廉姆斯关于算子范数的定理推广至另一算子 $ A $ 方向上的方向性平移情境。
• 将可翻译半径 $ M_T(A) $ 表示为包含 $ T^*T $、$ A^*T $ 和 $ A^*A $ 的泛函在状态上的上确界，从而建立算子几何与泛函分析之间的联系。

提出的方法

• 定义可翻译半径 $ M_T(A) = \sup_{\|f\|=1} \left\| Tf - \frac{(Tf, Af)}{(Af, Af)} Af \right\| $，用于度量 $ Tf $ 在 $ Af $ 方向正交分量的范数。
• 通过方向导数引入平稳向量的概念：若单位向量 $ f $ 满足 $ M_T^2(f) $ 在所有方向 $ g $ 上的导数为零，则其为临界点。
• 推导出必要且充分条件：$ (T^* - \bar{\lambda}A^*)(T - \lambda A)f = \|h\|^2 f $，其中 $ h = Tf - \lambda Af $，且 $ \lambda = (Tf, Af)/(Af, Af) $。
• 证明：若 $ M_T(A) $ 在向量 $ f $ 处取得，则 $ M_{T^*}(A^*) $ 在归一化向量 $ h/\|h\| $ 处取得，从而建立对偶问题之间的联系。
• 利用单位球面的弱紧性，证明若序列 $ \{f_n\} $ 实现 $ M_T(A)^2 $ 的上确界，则其弱极限（若非零）可实现该半径。
• 通过证明 $ M_T(A)^2 = \sup_{g \in \mathcal{P}} \left( g(T^*T) - \frac{|g(A^*T)|^2}{g(A^*A)} \right) $，其中 $ \mathcal{P} $ 为满足 $ g(A^*A) \neq 0 $ 的状态集合，推广威廉姆斯定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义特征值问题 $ Tf = \lambda Af $ 中，单位向量 $ f $ 为平稳距离向量的必要且充分条件是什么？
• RQ2 在何种条件下，可翻译半径 $ M_T(A) $ 在特定向量处取得？
• RQ3 当序列 $ \{f_n\} $ 实现 $ M_T(A)^2 $ 的上确界时，$ M_T(A) $ 的取得与该序列弱极限的关系为何？
• RQ4 威廉姆斯关于算子范数的定理能否推广至另一算子 $ A $ 方向上的方向性平移情形？
• RQ5 可翻译半径 $ M_T(A) $ 与包含 $ T^*T $、$ A^*T $ 和 $ A^*A $ 的泛函在状态上的上确界之间存在何种关系？

主要发现

• 单位向量 $ f $ 是广义特征值问题 $ Tf = \lambda Af $ 的平稳距离向量，当且仅当 $ (T^* - \bar{\lambda}A^*)(T - \lambda A)f = \|h\|^2 f $，其中 $ h = Tf - \lambda Af $，且 $ \lambda = (Tf, Af)/(Af, Af) $。
• 若 $ M_T(A) $ 在向量 $ f $ 处取得，则 $ M_{T^*}(A^*) $ 在归一化向量 $ h/\|h\| $ 处取得，从而建立了原问题与对偶问题之间的对偶性。
• 当最大化序列的弱极限非零时，可翻译半径 $ M_T(A) $ 在单位向量处取得；否则，所有此类序列弱收敛于零。
• 上确界 $ M_T(A)^2 $ 等于所有满足 $ g(A^*A) \neq 0 $ 的状态 $ g $ 上表达式 $ g(T^*T) - \frac{|g(A^*T)|^2}{g(A^*A)} $ 的上确界，从而推广了威廉姆斯定理。
• 当 $ A = I $ 时，该结果退化为威廉姆斯原始定理，确认其与经典情形的一致性。
• 可翻译半径满足不等式 $ \tilde{M}_T(A) \geq M_T(A) \geq m_T(A)/\|A^{-1}\| $，其中 $ m_T(A) $ 是集合 $ \{ (Tf, Af)/(Af, Af) : \|f\|=1 \} $ 所包含的最小圆的半径。