[论文解读] TRANSLATION AND HOMOTHETICAL SURFACES IN EUCLIDEAN SPACE WITH CONSTANT CURVATURE

López, Rafael, Moruz, Marilena|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 40

一句话总结

本文对欧几里得三维空间中具有常高斯曲率的翻译曲面与位似曲面进行了分类，证明了在 $ K = 0 $ 时唯一满足条件的曲面为柱面曲面，而在所研究条件下不存在非平坦（$ K \neq 0 $）的翻译曲面或位似曲面。该结果进一步推广至洛伦兹-闵可夫斯基空间中的非退化曲面，确认在该设定下常曲率曲面的分类结果与欧几里得空间一致。

ABSTRACT

We study surfaces in Euclidean space constructed by the sum of two curves or that are graphs of the product of two functions. We consider the problem to determine all these surfaces with constant Gauss curvature. We extend the results to non degenerate surfaces in Lorentz-Minkowski space.

研究动机与目标

• 对 $\mathbb{R}^3$ 中所有具有常高斯曲率的翻译曲面与位似曲面进行分类。
• 将分类结果推广至洛伦兹-闵可夫斯基空间 $\mathbb{L}^3$ 中的非退化曲面。
• 解决关于翻译曲面与位似曲面中常曲率的开放问题，特别是针对 $ K \neq 0 $ 的情形。
• 将关于极小曲面与常平均曲率曲面的已知结果推广至常高斯曲率情形。

提出的方法

• 将翻译曲面参数化为 $ X(s,t) = \alpha(s) + \beta(t) $，位似曲面参数化为 $ z = f(x)g(y) $。
• 利用第一与第二基本形式计算高斯曲率 $ K $，并利用翻译曲面的条件 $ \partial_{st}^2 X = 0 $。
• 通过设定 $ K $ 为常数，推导微分方程，特别分析混合偏导数与曲率表达式的消失性。
• 通过假设曲线位于坐标平面内或为平面曲线，利用对称性与约化技巧，将偏微分方程约化为常微分方程。
• 在洛伦兹情形下，通过区分类空与类时度量，引入符号因子 $ \epsilon $ 调整曲率公式。
• 通过反证法与导数的多项式分析，排除 $ K \neq 0 $ 时的非平凡解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^3$ 中，所有具有常高斯曲率的翻译曲面有哪些？
• RQ2 是否存在具有常非零高斯曲率的非柱面翻译曲面？
• RQ3 在 $\mathbb{R}^3$ 中，形如 $ z = f(x)g(y) $ 的位似曲面中，哪些具有常高斯曲率？
• RQ4 在欧几里得空间或洛伦兹-闵可夫斯基空间中，是否存在 $ K \neq 0 $ 的位似曲面？
• RQ5 常曲率翻译曲面与位似曲面的分类如何推广至 $\mathbb{L}^3$ 中的非退化曲面？

主要发现

• 具有常高斯曲率 $ K = 0 $ 的翻译曲面仅有柱面曲面。
• 若生成曲线之一为平面曲线，则不存在具有常高斯曲率 $ K \neq 0 $ 的翻译曲面。
• 在 $\mathbb{R}^3$ 中，唯一的极小位似曲面为平面与螺旋面，其中螺旋面可参数化为 $ z(x,y) = (x+b)\tan(cy+d) $。
• 所有具有常高斯曲率 $ K $ 的位似曲面必有 $ K = 0 $，且其形式为：在平面曲线上的柱面，或 $ z = ae^{bx+cy} $，或 $ z = \left(\frac{bx}{m}+d\right)^m\left(\frac{cy}{m-1}+e\right)^{1-m} $。
• 在洛伦兹-闵可夫斯基空间 $\mathbb{L}^3$ 中，分类结果相同：仅当 $ K = 0 $ 时存在柱面曲面，且不存在具有 $ K \neq 0 $ 的非平坦位似或翻译曲面。
• 对于 $ K \neq 0 $ 的情形，通过反证法证明：假设常非零曲率将导致生成函数导数的不一致多项式方程。