[论文解读] Translation-like Actions and Aperiodic Subshifts on Groups

Emmanuel Jeandel|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2015

semigroups and automata theory参考文献 15被引用 10

一句话总结

该论文证明：若一个有限生成群 $ H $ 通过平移类似作用于一个有限生成群 $ G $，且 $ H $ 具备弱周期性有限型子移位（SFT），则 $ G $ 同样具备此类 SFT。核心贡献在于将周期性继承的范围从子群包含关系推广至平移类似作用，证明了无限的有限生成群与非阿贝尔有限生成群的直积均具有弱周期性 SFT 以及不可判定的多米诺问题。

ABSTRACT

It is well known that if $G$ admits a f.g. subgroup $H$ with a weaklyaperiodic SFT (resp. an undecidable domino problem), then $G$itself has a weakly aperiodic SFT (resp. an undecidable domino problem).We prove that we can replace the property "$H$ is a subgroup of $G$"by "$H$ acts translation-like on $G$", provided $H$ is finitely presented.In particular:* If $G\_1$ and $G\_2$ are f.g. infinite groups, then $G\_1 imes G\_2$ has a weakly aperiodic SFT (and actually a undecidable domino problem). In particular the Grigorchuk group has an undecidable domino problem. * Every infinite f.g. $p$-group admits a weakly aperiodic SFT.

研究动机与目标

• 将弱周期性 SFT 的继承性从子群包含关系推广至更广泛的群作用类别。
• 研究有限生成群 $ H $ 对其他群的平移类似作用是否保持弱周期性 SFT 的存在性。
• 证明两个无限的有限生成群的直积具有弱周期性 SFT 以及不可判定的多米诺问题。
• 证明每个无限的有限生成 $ p $-群均具有弱周期性 SFT。
• 探讨平移类似作用与群上符号动力系统中多米诺问题不可判定性之间的关系。

提出的方法

• 将平移类似作用定义为：在 $ G $ 的凯莱图中删除部分边后，将其图划分成 $ H $ 的凯莱图的副本。
• 利用有限局部约束，在 $ G $ 上的子移位中编码此类平移类似作用的存在性。
• 利用 $ H $ 的有限表示性，确保编码过程有效且局部，从而在 $ G $ 上构造出 SFT。
• 将先前关于 $ \bbZ \times G $ 作用的结果推广至任意有限生成群 $ H $ 在 $ G $ 上的平移类似作用。
• 将该构造应用于具体情形：$ H = \bbZ $，$ H = B(1,n) $，以及 $ H = \bbZ^2 $，以推导出关于直积与非阿贝尔群的结果。
• 利用子移位中 $ H $ 的非周期性可通过平移类似作用提升至 $ G $ 上子移位的非周期性这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱周期性 SFT 的继承性能否从子群包含关系推广至平移类似群作用？
• RQ2 在何种条件下，有限生成群 $ H $ 对 $ G $ 的平移类似作用可推出 $ G $ 具有弱周期性 SFT？
• RQ3 每个两个无限的有限生成群的直积是否都具有弱周期性 SFT 以及不可判定的多米诺问题？
• RQ4 即使在作用群的多米诺问题是可判定的条件下，多米诺问题的不可判定性是否仍可通过平移类似作用继承？
• RQ5 弱周期性 SFT 的存在性是否为拟等距不变量？其与平移类似作用有何关联？

主要发现

• 若一个有限生成群 $ H $ 通过平移类似作用于一个有限生成群 $ G $，且 $ H $ 具有弱周期性 SFT，则 $ G $ 也具有弱周期性 SFT。
• 任意两个无限的有限生成群的直积 $ G_1 \times G_2 $ 均具有弱周期性 SFT 以及不可判定的多米诺问题。
• 格里戈里奇群具有不可判定的多米诺问题，因其为无限的有限生成 $ p $-群。
• 每个无限的有限生成 $ p $-群均具有弱周期性 SFT。
• 若 $ G $ 是一个具有同构于 $ \bbZ $ 的正规子群的有限生成群，则 $ G $ 具有不可判定的多米诺问题，除非 $ G $ 是虚拟循环群。
• 对任意 $ n \notin \{1,-1\} $，布姆斯拉格-索尔塔尔群 $ B(1,n) $ 可通过平移类似作用于 $ G $，从而推出 $ G $ 具有不可判定的多米诺问题。