[论文解读] Translation of Einstein's Attempt of a Unified Field Theory with Teleparallelism

Alexander Unzicker, Timothy Case|ArXiv.org|Mar 6, 2005

Cosmology and Gravitation Theories被引用 97

一句话总结

本文提供了阿尔伯特·爱因斯坦1925年关于其规范平行统一场论的原始论文的首次英文翻译，该理论试图通过使用非对称联络系数和非对称度量张量密度的仿射联络，统一引力与电磁力。该理论在一阶近似下重现了引力的泊松方程和电磁学的麦克斯韦方程，表明了两种场的几何统一，尽管爱因斯坦指出该理论尚缺乏粒子的完整运动方程。

ABSTRACT

We present the first English translation of Einstein's original papers related to the teleparallel ('absolute parallelism', 'distant parallelism' and the German 'Fernparallelismus' are synonyms) attempt of an unified field theory of gravitation and electromagnetism. Our collection contains the summarizing paper in Math. Annal. 102 (1930) pp. 685-697 and 2 reports published in 'Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften' on June 7th, 1928 (pp. 217-221), June 14th, 1928 (pp. 224-227) and a precursor report (July 9th, 1925 pp. 414-419). To ease understanding, literature on tensor analysis is quoted in the footnotes.

研究动机与目标

• 提供爱因斯坦关于其规范平行统一场论的1925年原始会期报告的首次英文翻译。
• 阐明爱因斯坦通过非对称仿射联络和非对称度量张量密度统一引力与电磁力的尝试。
• 证明该理论在一阶近似下可重现牛顿引力与麦克斯韦电磁学。
• 为现代统一场论与广义相对论研究者保存并呈现原始数学形式与推导过程。

提出的方法

• 爱因斯坦构建了一个具有非对称仿射联络 $\Gamma_{\alpha\beta}^\mu$ 的四维时空，允许非对称曲率张量的存在。
• 他引入一个协变张量密度 $\mathfrak{g}^{\mu\nu}$，并利用黎曼曲率与联络系数构造标量密度 $\mathfrak{H} = \mathfrak{g}^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$。
• 通过要求作用量积分 $\mathcal{J} = \int \mathfrak{H} \, dx^1 dx^2 dx^3 dx^4$ 对 $\mathfrak{g}^{\mu\nu}$ 和 $\Gamma_{\alpha\beta}^\mu$ 作为独立变量的变分消失，推导出场方程。
• 所得方程包括 $R_{\mu\nu} = 0$ 和一组64个方程（5），通过张量密度与迹条件重新表述，以简化结构。
• 通过引入张量密度 $\mathfrak{f}^\mu$ 并利用对称性与迹性质，场方程被重写为更紧凑的形式（10），并附加约束条件（7）。
• 在一阶近似下，通过 $h_{s\nu} = \delta_{s\nu} + \bar{h}_{s\nu}$ 引入度量扰动 $\bar{h}_{\mu\nu}$，导出线性化方程，其可分离为引力与电磁部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于规范平行性的统一场论是否能在一阶近似下重现牛顿引力与麦克斯韦电磁学？
• RQ2 非对称仿射联络与非对称度量张量密度在统一引力与电磁力中起到何种作用？
• RQ3 张量密度 $\mathfrak{f}^\mu$ 在简化场方程与确保一致性方面发挥什么作用？
• RQ4 尽管该理论恢复了已知的场方程，为何仍无法导出点粒子的完整运动方程？
• RQ5 坐标变换如何影响线性化场方程的协变性？

主要发现

• 由变分原理导出的场方程给出 $R_{\mu\nu} = 0$ 和一组64个方程，在迹与对称性约束下可约化为一致的集合。
• 在一阶近似下，度量扰动的对称部分 $\bar{g}_{\alpha\mu}$ 满足 $\bar{g}_{\alpha\mu,\sigma\sigma} = 0$ 与 $\bar{g}_{\alpha\mu,\mu} = 0$，对应于引力的泊松方程。
• 反对称部分 $a_{\alpha\mu}$ 满足 $a_{\alpha\mu,\sigma\sigma} = 0$ 与 $a_{\alpha\mu,\mu} = 0$，对应于真空中的麦克斯韦方程。
• 该理论在线性、正交坐标变换下保持协变性，$\bar{h}_{\alpha\mu}$、$\bar{g}_{\alpha\mu}$ 与 $a_{\alpha\mu}$ 遵循张量变换律。
• 线性化极限下引力与电磁场的分离支持了这两种力在观测上的独立性，尽管爱因斯坦指出在完整理论中它们并非真正可分。
• 尽管恢复了已知的场方程，该理论仍因缺乏点粒子的一致运动方程而保持不完备。