[论文解读] Translation of Leonhard Euler's: General Principles of the Motion of Fluids

U. Frisch|ArXiv.org|Feb 17, 2008

Fluid dynamics and aerodynamics studies参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文翻译并改编了欧拉1775年关于流体运动一般原理的奠基性论文，建立了流体力学的基础方程。论文推导了在外部力作用下可压缩与不可压缩流体的运动方程、连续性方程和状态方程，引入速度势与可积性条件以描述流体质点轨迹，其关键贡献在于指出了由于当时数学分析的发展水平，这些方程在解析求解上存在局限性。

ABSTRACT

This is an adapatation by U. Frisch of an English translation by Thomas E. Burton of Euler's memoir `Principes généraux du mouvement des fluides' (Euler, 1775b). Burton's translation appeared in Fluid Dynamics, 34} (1999) pp. 801-82, Springer and is here adapted by permission. A detailed presentation of Euler's published work can be found in Truesdell, 1954. Euler's work is discussed also in the perspective of eighteenth century fluid dynamics research by Darrigol and Frisch, 2008. Explanatory footnotes have been supplied where necessary by G.K. Mikhailov and a few more by U. Frisch and O.Darrigol. Euler's memoir had neither footnotes nor a list of references.

研究动机与目标

• 以类似于欧拉先前关于流体静平衡研究的方式，建立流体运动的一般原理。
• 在任意外部力作用下，推导控制流体运动的基本方程，包括运动方程、连续性方程和状态方程。
• 研究流体运动可通过速度势和可积微分形式描述的条件。
• 阐明初始条件与边界条件在确定流体轨迹中的作用，以及数学分析发展水平所施加的限制。

提出的方法

• 通过分析作用在流体微元上的力（包括外部加速度力和内部压力梯度），推导出流体微元的运动方程。
• 引入速度势 S 的概念，使得 dS = udx + vdy + wdz + Πdt，从而能够用单一标量函数描述流体运动。
• 应用微分形式 udx + vdy + wdz 可积的条件，从而导出速度势的存在性，并简化方程组。
• 利用连续性方程 dq/dt + d(qu)/dx + d(qv)/dy + d(qw)/dz = 0，确保流体流动中的质量守恒。
• 通过要求在固体表面处速度的法向分量为零，施加边界条件，确保流体质点附着于容器壁面。
• 将流体运动问题简化为求解两个核心方程：一个描述动力学（涉及压力与速度梯度项），另一个通过连续性方程强制质量守恒。

实验结果

研究问题

• RQ1 无论流体是否可压缩或外部力的性质如何，支配流体运动的一般原理是什么？
• RQ2 在何种条件下，流体速度场可由速度势描述？这种描述如何简化运动方程？
• RQ3 初始条件与边界条件如何影响给定流场域中流体轨迹的确定？
• RQ4 为何流体运动方程尚未能完全求解？数学分析的发展水平在这一局限性中起到了什么作用？

主要发现

• 流体微元的运动完全由其三个速度分量 u、v 和 w 决定，这些分量可通过微分关系 dx = udt、dy = vdt、dz = wdt重构其轨迹。
• 当微分形式 udx + vdy + wdz 可积时，存在一个速度势 S，使得 dS = udx + vdy + wdz + Πdt，从而可对流动进行更紧凑的描述。
• 方程组可简化为两个基本方程：一个描述力的平衡（包括压力与加速度项），另一个通过连续性方程强制质量守恒。
• 要求流体质点附着于固体边界，意味着必须在表面处满足速度法向分量为零的条件，该条件必须作为边界条件纳入。
• 尽管理论框架已完备，论文结论指出，方程无法求解的原因并非源于力学本身，而是由于当时数学分析尚未发展成熟，特别是在处理非线性偏微分方程方面。
• 欧拉指出，非势流（即 udx + vdy + wdz 不可积）的存在尚未被充分认识，这表明当时对涡旋流体流动的理解仍存在空白。