[论文解读] Transmitter Optimization for Achieving Secrecy Capacity in Gaussian MIMO Wiretap Channels

Jiangyuan Li, Athina P. Petropulu|ArXiv.org|Sep 14, 2009

Wireless Communication Security Techniques参考文献 21被引用 61

一句话总结

本文提出了一种发射机优化框架，通过在功率约束下求解输入协方差矩阵的非凸优化问题，以在高斯 MIMO 侦听信道中实现保密容量。针对 MISO 情况以及合法用户与窃听者信道格拉姆矩阵之差为不定矩阵且仅有一个正特征值其余为负特征值的情形，推导出闭式解；对于一般情况，则提出一种迭代定点算法，并在特定条件下证明了秩一结构。

ABSTRACT

We consider a Gaussian multiple-input multiple-output (MIMO) wiretap channel model, where there exists a transmitter, a legitimate receiver and an eavesdropper, each node equipped with multiple antennas. We study the problem of finding the optimal input covariance matrix that achieves secrecy capacity subject to a power constraint, which leads to a non-convex optimization problem that is in general difficult to solve. Existing results for this problem address the case in which the transmitter and the legitimate receiver have two antennas each and the eavesdropper has one antenna. For the general cases, it has been shown that the optimal input covariance matrix has low rank when the difference between the Grams of the eavesdropper and the legitimate receiver channel matrices is indefinite or semi-definite, while it may have low rank or full rank when the difference is positive definite. In this paper, the aforementioned non-convex optimization problem is investigated. In particular, for the multiple-input single-output (MISO) wiretap channel, the optimal input covariance matrix is obtained in closed form. For general cases, we derive the necessary conditions for the optimal input covariance matrix consisting of a set of equations. For the case in which the transmitter has two antennas, the derived necessary conditions can result in a closed form solution; For the case in which the difference between the Grams is indefinite and has all negative eigenvalues except one positive eigenvalue, the optimal input covariance matrix has rank one and can be obtained in closed form; For other cases, the solution is proved to be a fixed point of a mapping from a convex set to itself and an iterative procedure is provided to search for it. Numerical results are presented to illustrate the proposed theoretical findings.

研究动机与目标

• 解决在功率约束下，高斯 MIMO 侦听信道中实现保密容量的输入协方差矩阵的非凸优化问题。
• 将现有结果从 2×2×1 天线的特殊情形扩展到一般 MIMO 配置。
• 推导最优性的必要条件，并在信道格拉姆矩阵具有特定结构假设下识别闭式解。
• 为闭式解不可用的情况开发一种迭代定点算法。
• 证明在特定条件下，最优输入协方差矩阵为秩一，从而支持高效的波束成形设计。

提出的方法

• 利用拉格朗日对偶与矩阵分析，推导 MIMO 侦听信道保密容量问题的最优性必要条件。
• 通过特征值分解与秩约束，对 MISO 情况（多输入、单输出）以闭式求解优化问题。
• 对于双天线发射机情形，将问题简化为一组可解方程，从而获得闭式解。
• 证明当窃听者与合法接收方信道格拉姆矩阵之差为不定矩阵且恰好有一个正特征值、其余为负特征值时，最优波束成形矩阵为秩一，且可闭式计算。
• 在所有其他情况下，将解表述为从凸集到自身的映射的不动点，从而可通过迭代算法实现收敛。
• 利用特征值分解与矩阵不等式分析，建立最优协方差矩阵的结构特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种信道条件下，保密容量的最优输入协方差矩阵为秩一？
• RQ2 能否对一般配置下的 MIMO 侦听信道保密容量优化问题获得闭式解？
• RQ3 在功率约束下，一般 MIMO 侦听信道中最优输入协方差矩阵的必要条件是什么？
• RQ4 当不存在闭式解时，如何高效求解非凸保密容量优化问题？
• RQ5 当合法用户与窃听者信道格拉姆矩阵之差为不定矩阵时，最优波束成形设计中会涌现出何种结构特性？

主要发现

• 对于 MISO 侦听信道，推导出最优输入协方差矩阵的闭式解，从而可直接计算实现保密容量的波束成形。
• 当发射机具有两个天线时，必要条件可导出最优波束成形向量的闭式解。
• 若窃听者与合法接收方信道格拉姆矩阵之差为不定矩阵，且恰好有一个正特征值其余为负特征值，则最优输入协方差矩阵为秩一，且可闭式计算。
• 在所有其他情况下，最优解为从凸集到自身的映射的不动点，提出一种迭代算法用于计算。
• 理论分析证明，在秩一条件下，波束成形向量与变换后信道矩阵的主特征向量对齐，从而确保保密速率最大化。
• 数值结果验证了理论发现，表明迭代算法具有收敛性，并在性能上优于非优化波束成形。