[论文解读] Transparent Boundary Conditions for the Time-Dependent Schrödinger Equation with a Vector Potential

Jason Kaye, Leslie Greengard|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2018

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 30被引用 7

一句话总结

本论文提出了一种通用方法，利用势论和格林表示定理，在任意分段光滑区域中推导出含矢量势的时间依赖薛定谔方程的精确透明边界条件（TBCs）。对于具有非零矢量势的一维问题，TBCs 在时间上变为非卷积形式，作者为此开发了一种快速蝴蝶算法，以高效计算这些非局部条件，从而实现边界反射极小的精确且高效的数值模拟。

ABSTRACT

We consider the problem of constructing transparent boundary conditions for the time-dependent Schrödinger equation with a compactly supported binding potential and, if desired, a spatially uniform, time-dependent electromagnetic vector potential. Such conditions prevent nonphysical boundary effects from corrupting a numerical solution in a bounded computational domain. We use ideas from potential theory to build exact nonlocal conditions for arbitrary piecewise-smooth domains. These generalize the standard Dirichlet-to-Neumann and Neumann-to-Dirichlet maps known for the equation in one dimension without a vector potential. When the vector potential is included, the condition becomes non-convolutional in time. For the one-dimensional problem, we propose a simple discretization scheme and a fast algorithm to accelerate the evaluation of the boundary condition.

研究动机与目标

• 为在任意分段光滑区域中具有紧支集势和时变矢量势的时间依赖薛定谔方程开发精确的透明边界条件（TBCs）。
• 将现有TBC框架——此前仅限于标量势或一维情形——扩展至包含高维电磁矢量势的情形。
• 通过设计一种快速算法来应对矢量势引入的非卷积时间依赖性所带来的计算挑战，实现在计算上的高效实现。
• 通过使用Crank-Nicolson格式结合TBCs与狄利克雷边界条件的数值实验，展示所提TBCs的准确性和效率。

提出的方法

• 利用势论和格林表示定理，在任意区域中推导出含矢量势的薛定谔方程的精确非局部TBCs。
• 将TBCs表示为涉及边界积分的狄利克雷到诺伊曼型映射，其核函数由问题的完整格林函数导出。
• 对于具有非零矢量势的一维问题，所得TBCs在时间上为非卷积形式，这与无矢量势时的标准TBCs形式不同。
• 提出一种新颖的快速蝴蝶算法，以加速非卷积积分算子的计算，实现在时间步数上的近线性复杂度。
• 在半离散Crank-Nicolson格式中实现TBCs，采用罗宾型边界条件，并使用高阶有限差分法进行空间离散化。
• 采用矩阵压缩技术和预计算以降低内存和计算成本，尤其在矢量势具有简单时间结构时效果显著。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为在任意分段光滑区域中具有矢量势的时间依赖薛定谔方程推导出精确的透明边界条件？
• RQ2 当矢量势非零时，TBCs的数学结构是什么？其与无矢量势时标准卷积形式有何不同？
• RQ3 能否开发一种快速算法，以高效计算矢量势情形下TBCs中出现的非卷积时间积分算子？
• RQ4 基于TBC的格式在解误差和稳定性方面，与标准狄利克雷边界条件相比表现如何？
• RQ5 应用TBCs的计算成本是多少？能否通过现代快速算法实现大规模模拟的可扩展性？

主要发现

• 所提出的TBCs在任意分段光滑区域中对含矢量势的薛定谔方程是精确的，其推导基于格林表示定理。
• 当矢量势非零时，TBCs在时间上变为非卷积形式，这使得标准基于卷积的快速算法失效，因而需要新的计算策略。
• 对于一维问题，作者开发了一种快速蝴蝶算法，实现了与时间步数的近线性缩放，将TBC计算成本降低至总模拟时间的0.02%以下。
• 数值实验表明，整体格式在时间上呈现二阶收敛性，且在相同空间离散化下，TBC与狄利克雷边界条件方案产生的误差几乎完全一致。
• 在矢量势变号的情况下，TBC格式比狄利克雷边界条件格式更精确，因为其在外部区域的误差累积更少。
• 当矢量势具有简单时间依赖性时，系统矩阵$S_N$和$D_N$的矩阵压缩技术非常有效，可实现高效预计算与存储。