[论文解读] Transport coefficients for a granular gas around uniform shear flow

Vicente Garzó|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2005

Granular flow and fluidized beds被引用 1

一句话总结

该论文通过围绕一个捕捉剪切率完整水动力依赖性的非平衡参考态，采用类似Chapman-Enskog的展开方法，推导了接近均匀剪切流的颗粒气体的输运系数。关键贡献在于识别出由于非弹性冷却导致的时间依赖温度演化对输运系数的影响，进而通过线性稳定性分析揭示了在稳态条件下长波长不稳定性的存在。

ABSTRACT

The inelastic Boltzmann equation for a granular gas is applied to spatially inhomogeneous states close to the uniform shear flow. A normal solution is obtained via a Chapman-Enskog-like expansion around a local shear flow distribution. The heat and momentum fluxes are determined to first order in the deviations of the hydrodynamic field gradients from their values in the reference state. The corresponding transport coefficients are determined from a set of coupled linear integral equations which are approximately solved by using a kinetic model of the Boltzmann equation. The main new ingredient in this expansion is that the reference state $f^{(0)}$ (zeroth-order approximation) retains all the hydrodynamic orders in the shear rate. In addition, since the collisional cooling cannot be compensated locally for viscous heating, the distribution $f^{(0)}$ depends on time through its dependence on temperature. This means that in general, for a given degree of inelasticity, the complete nonlinear dependence of the transport coefficients on the shear rate requires the analysis of the {\em unsteady} hydrodynamic behavior. To simplify the analysis, the steady state conditions have been considered here in order to perform a linear stability analysis of the hydrodynamic equations with respect to the uniform shear flow state. Conditions for instabilities at long wavelengths are identified and discussed.

研究动机与目标

• 通过在输运系数中考虑剪切率的非线性依赖性，将颗粒气体的水动力学理论扩展至非平衡态。
• 模拟非弹性碰撞和能量损失（冷却）对非平衡稳态下输运行为的影响。
• 利用围绕局部剪切流分布的Chapman-Enskog类似展开方法，推导输运系数——热通量和动量通量。
• 识别出由于非弹性能量损失，均匀剪切流在长波长下变得不稳定的条件。
• 通过分析稳态行为，简化非定常问题，以获得线性稳定性方面的洞察。

提出的方法

• 将类似Chapman-Enskog的展开方法应用于非弹性Boltzmann方程，以局部剪切流分布作为参考态。
• 零阶分布函数 $ f^{(0)} $ 保持对剪切率的完整依赖性，并由于碰撞冷却而随时间演化。
• 输运系数由一阶梯度下水动力学场的耦合线性积分方程组导出。
• 采用Boltzmann方程的动能模型，近似求解输运系数的积分方程。
• 在稳态假设下进行稳定性分析，以研究均匀剪切流的长波长扰动。
• 分析考虑了非弹性碰撞导致的能量未补偿损失，因此需要对参考态进行时间依赖性处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当非弹性冷却未被粘性加热平衡时，颗粒气体中的输运系数如何依赖于剪切率？
• RQ2 参考态 $ f^{(0)} $ 中的时间依赖温度在确定输运系数中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，颗粒气体中的均匀剪切流在长波长下变得线性不稳定？
• RQ4 在 $ f^{(0)} $ 中包含剪切率的完整依赖性，如何影响输运系数的推导？
• RQ5 尽管颗粒能量平衡本质上是非定常的，稳态近似能否提供有意义的稳定性洞察？

主要发现

• 由于碰撞冷却未被平衡，参考态 $ f^{(0)} $ 随时间演化，导致在完整非线性情况下输运系数本质上具有时间依赖性。
• 输运系数由一组考虑剪切流非平衡状态的耦合线性积分方程导出。
• 分析揭示了由于非弹性能量损失，均匀剪切流在长波长下变得不稳定的条件。
• 尽管底层能量平衡具有非定常性，稳态近似仍允许进行可处理的线性稳定性分析。
• 在 $ f^{(0)} $ 中包含完整的剪切率依赖性，对于捕捉输运系数的正确非线性行为至关重要。
• 动能模型方法为近似求解控制输运系数的复杂积分方程提供了一种实用方法。