[论文解读] Transportation Distances on the Circle

Julien Rabin, Julie Delon+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2009

Geometry and complex manifolds被引用 2

一句话总结

本文提出了一种计算高效的地球移动距离（EMD）方法，用于离散圆形直方图之间的计算，通过将问题简化为在单位圆上寻找最优切点，将其转化为实轴上的一维EMD计算。关键结果是一个闭式公式：CEMD(f, g) = minₖ ‖Fₖ − Gₖ‖₁，其中Fₖ和Gₖ为从第k个桶开始的累积直方图，从而实现在计算机视觉应用中快速的直方图匹配。

ABSTRACT

ABSTRACT. In this contribution, we study Monge-Kantorovich distances between discrete set of points on the unit circle S 1, when the ground distance between two points x and y on the circle is defined as c(x, y) = min(|x − y|,1 − |x − y|). We first prove that computing a Monge-Kantorovich distance between two given sets of pairwise different points boils down to cut the circle at a well chosen point and to compute the same distance on the real line. This result is then used to prove a formula on the Earth Mover’s Distance [3], which is a particular Monge-Kantorovich distance. This formula asserts that the Earth Mover’s Distance between two discrete circular normalized histograms f = (f[i])i=0,...,N−1 and g = (g[i])i=0,...,N−1 on N bins can be computed by (1) CEMD(f, g) = min k∈{0,...,N−1} ‖Fk − Gk‖1, where Fk and Gk are the cumulative histograms of f and g starting at the k th quantization bin. This formula is used in recent papers [1, 2] on the matching of local features between images, where the Earth Mover’s Distance is used to compare circular histograms of gradient orientations. 1.

研究动机与目标

• 解决在单位圆上使用圆形基距离时计算Monge-Kantorovich距离的计算挑战。
• 推导离散圆形归一化直方图之间地球移动距离（EMD）的实用公式。
• 通过将圆形EMD计算简化为一维问题，实现在图像分析中高效直方图匹配。
• 为在圆形特征描述符中使用EMD比较梯度方向直方图提供理论依据。

提出的方法

• 将圆上的基距离定义为c(x, y) = min(|x − y|, 1 − |x − y|)，以捕捉最短弧长。
• 证明单位圆上的任意Monge-Kantorovich距离均可通过在单一点最优切割圆周并映射到实直线来计算。
• 利用该简化方法，推导出圆形EMD的闭式表达式：CEMD(f, g) = minₖ ‖Fₖ − Gₖ‖₁。
• 将Fₖ和Gₖ定义为模N下从桶k开始的f和g的累积直方图。
• 证明对所有可能的起始桶k ∈ {0, ..., N−1}取最小值，可得到正确的EMD值。
• 利用累积直方图的结构特性，实现在无需对所有运输计划进行穷举搜索的情况下高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过最优圆周切割将圆上的Monge-Kantorovich距离简化为一维EMD计算？
• RQ2 两个离散圆形直方图之间地球移动距离的精确公式是什么？
• RQ3 该公式在实际图像特征匹配中如何高效计算？
• RQ4 为何该方法比直接的圆形EMD计算更高效？

主要发现

• 单位圆上的Monge-Kantorovich距离等价于在特定点最优切割圆周后计算一维EMD。
• 两个圆形归一化直方图f和g之间的地球移动距离由CEMD(f, g) = minₖ ‖Fₖ − Gₖ‖₁给出，其中Fₖ和Gₖ为从桶k开始的累积直方图。
• 该公式可实现圆形数据上EMD的精确且高效计算，避免了对运输计划的复杂优化。
• 该方法可直接应用于图像分析，尤其适用于使用梯度方向直方图匹配局部特征。