[论文解读] Transposed Poisson algebras, Novikov-Poisson algebras and 3-Lie algebras

Chengming Bai, Ruipu Bai+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 38被引用 9

一句话总结

本文引入了转置泊松代数作为泊松代数的对偶结构，其定义基于一种经过缩放的转置莱布尼茨法则，其中交换结合代数的乘法在李括号上作用为缩放后的导子。主要贡献在于：转置泊松代数自然地从诺维科夫-泊松代数通过换位子构造产生，并可在无需强条件的情况下实现更强的3-李代数构造，从而在两种主要构造过程中均得到转置泊松3-李代数。

ABSTRACT

We introduce a dual notion of the Poisson algebra by exchanging the roles of the two binary operations in the Leibniz rule defining the Poisson algebra. We show that the transposed Poisson algebra thus defined not only shares common properties of the Poisson algebra, including the closure under taking tensor products and the Koszul self-duality as an operad, but also admits a rich class of identities. More significantly, a transposed Poisson algebra naturally arises from a Novikov-Poisson algebra by taking the commutator Lie algebra of the Novikov algebra. Consequently, the classic construction of a Poisson algebra from a commutative associative algebra with a pair of commuting derivations has a similar construction of a transposed Poisson algebra when there is one derivation. More broadly, the transposed Poisson algebra also captures the algebraic structures when the commutator is taken in pre-Lie Poisson algebras and two other Poisson type algebras. Furthermore, the transposed Poisson algebra improves two processes in~[17] that produce 3-Lie algebras from Poisson algebras with a strongness condition. When transposed Poisson algebras are used in one process, the strongness condition is no longer needed and the resulting 3-Lie algebra gives a transposed Poisson 3-Lie algebra. In the other process, the resulting 3-Lie algebra is shown to again give a transposed Poisson 3-Lie algebra.

研究动机与目标

• 通过在莱布尼茨法则中反转交换结合乘积与李括号的角色，定义并研究泊松代数的对偶结构。
• 确立转置泊松代数继承关键性质，如在张量积下封闭，以及作为操作子的科什乌尔自对偶性。
• 证明转置泊松代数自然地从诺维科夫-泊松代数通过诺维科夫乘积的换位子构造中产生。
• 表明转置泊松代数可改进已知的两类从泊松代数构造3-李代数的方法，消除对强条件的需求。
• 证明通过这些构造得到的3-李代数即使在原始泊松代数不满足强条件时，仍是转置泊松3-李代数。

提出的方法

• 引入转置莱布尼茨法则：对向量空间 $L$ 中所有 $x,y,z$，有 $2z\cdot[x,y] = [z\cdot x,y] + [x,z\cdot y]$，由此定义转置泊松代数。
• 证明诺维科夫-泊松代数中诺维科夫代数的换位子可生成转置泊松代数，从而将其与已知代数结构联系起来。
• 利用导子从转置泊松代数构造3-李代数，并证明所得三元运算满足3-李代数公理。
• 证明通过公式 $[x,y,z] = \mathrm{Id} \wedge D_1 \wedge D_2(x,y,z)$ 构造的3-李代数无需强条件即可成为转置泊松3-李代数。
• 证明当原始泊松代数满足较弱条件（式 7）时，该3-李代数构造仍可产生转置泊松3-李代数。
• 利用操作子对偶性和范畴性质，证明转置泊松代数与泊松代数相互独立，并作为操作子具有自对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在莱布尼茨法则中反转交换结合乘积与李括号的角色，定义泊松代数的对偶概念？
• RQ2 诺维科夫-泊松代数中诺维科夫代数的换位子是否生成转置泊松代数？
• RQ3 能否在不依赖原始泊松代数强条件的情况下，从转置泊松代数构造3-李代数？
• RQ4 此类构造所得到的3-李代数是否必然是转置泊松3-李代数？
• RQ5 在何种条件下，三元组 $(L,\cdot,[\;,\;,\;])$ 同时成为泊松3-李代数与转置泊松3-李代数？

主要发现

• 转置泊松代数由相容性条件 $2z\cdot[x,y] = [z\cdot x,y] + [x,z\cdot y]$ 定义，该条件与标准泊松代数相比，交换了两个运算的角色。
• 转置泊松代数在张量积下封闭，并作为操作子具有科什乌尔自对偶性，与泊松代数的关键性质相一致。
• 诺维科夫-泊松代数中诺维科夫乘积的换位子可生成转置泊松代数，建立了其与重要代数结构的自然联系。
• 从转置泊松代数通过导子构造3-李代数时，不再需要强条件，从而推广了先前结果。
• 即使原始泊松代数不满足强条件，该构造所得到的3-李代数仍被证明是转置泊松3-李代数。
• 当且仅当所有混合积 $u\cdot[x,y,z]$ 与 $[u\cdot x,y,z]$ 恒为零时，三元组 $(L,\cdot,[\;,\;,\;])$ 既是泊松3-李代数也是转置泊松3-李代数，这是其同时为两类代数的充要条件。