[论文解读] Transversal homotopy theory

Jonathan Woolf|ArXiv.org|Oct 17, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 21

一句话总结

本文通过仅限制于与各层横截的映射来构建惠特尼分层流形的横截同伦理论，从而保留了在标准同伦理论中会丢失的与各层之间的拓扑相互作用。主要贡献在于构造了横截同伦幺半群与群丛，以范畴方式建模 $k$-重幺半群 $n$-群丛，其中庞特里亚金-托姆构造提供了作为框架挠线的几何解释。

ABSTRACT

Implementing an idea due to John Baez and James Dolan we define new invariants of Whitney stratified manifolds by considering the homotopy theory of smooth transversal maps. To each Whitney stratified manifold we assign transversal homotopy monoids, one for each natural number. The assignment is functorial for a natural class of maps which we call stratified normal submersions. When the stratification is trivial the transversal homotopy monoids are isomorphic to the usual homotopy groups. We compute some simple examples and explore the elementary properties of these invariants. We also assign `higher invariants', the transversal homotopy categories, to each Whitney stratified manifold. These have a rich structure; they are rigid monoidal categories for n>1 and ribbon categories for n>2. As an example we show that the transversal homotopy categories of a sphere, stratified by a point and its complement, are equivalent to categories of framed tangles.

研究动机与目标

• 为惠特尼分层流形建立一种同伦理论，通过限制于横截映射而非近似于横截性来尊重各层结构。
• 将经典同伦不变量（如同伦群和基本群丛）推广到保留关于层交叉信息的横截设定中。
• 构造横截同伦幺半群与群丛，以建模高阶范畴结构，如 $k$-重幺半群 $n$-群丛。
• 通过庞特里亚金-托姆构造提供这些不变量的几何实现，将横截同伦类识别为框架挠线。
• 证明框架子流形的坍缩映射在通过横截映射的同伦下是良定义的，确保构造的一致性。

提出的方法

• 将横截同伦幺半群 $\psi_n(X)$ 定义为从带基点的惠特尼分层流形范畴到自伴幺半群范畴的函子，使用映射 $[0,1]^n \to X$ 与所有层横截。
• 引入带基点的惠特尼分层流形与分层正规子丛的范畴 $\mathbf{Whit}_\star$，以确保横截性在复合下保持不变。
• 为标准拓扑构造（如悬垂与 Thom 空间）构造纤维化替换（加粗版本），确保其属于 $\mathbf{Whit}_\star$，从而保持横截性。
• 利用庞特里亚金-托姆构造，为框架余维数 $k$ 的子流形 $W$ 定义坍缩映射 $\kappa_W: (S^n, B^n) \to (S^k, \star)$，确保横截性与框架相容性。
• 通过构造坍缩映射的光滑化并利用同伦不变性，证明坍缩映射在通过横截映射的同伦下唯一，从而确立其唯一性。
• 证明任意横截映射 $f: (S^n, B^n) \to (S^k, \star)$ 同伦于 $f^{-1}(p)$ 的坍缩映射，且同伦固定 $p$ 的邻域。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为分层空间发展一种同伦理论，以保留关于与各层横截相交的信息，而非允许其抵消？
• RQ2 在惠特尼分层流形的背景下，横截同伦幺半群 $\psi_n(X)$ 如何推广经典同伦群 $\pi_n(X)$？
• RQ3 横截同伦幺半群 $\psi_n(S^k)$（即以一点及其补集分层的球面）的几何意义是什么？
• RQ4 能否构造横截同伦群丛 $\Psi_{n,n+1}(X)$ 以建模高阶范畴结构，如 $k$-重幺半群 $n$-范畴？
• RQ5 框架子流形的坍缩映射在通过横截映射的同伦下是否良定义，从而确保不变量的一致性？

主要发现

• 横截同伦幺半群 $\psi_n(X)$ 是从 $\mathbf{Whit}_\star$ 到自伴幺半群范畴的函子，对 $n > 0$ 推广了经典 $\pi_n(X)$。
• 对于以一点及其补集分层的分层球面 $\mathbb{S}^k$，有 $\psi_n(\mathbb{S}^k)$ 同构于 $\mathbb{R}^n$ 中余维数 $k$ 的框架子流形的环境同伦类集合，即框架挠线。
• 庞特里亚金-托姆构造为 $\psi_n(\mathbb{S}^k)$ 提供了几何模型，即 $n$ 维空间中的框架挠线范畴，建立了横截同伦与几何拓扑之间的直接联系。
• 框架子流形的坍缩映射在通过横截映射的同伦下唯一，确保了 $\psi_n(X)$ 构造的良定义与一致性。
• 任意横截映射 $f: (S^n, B^n) \to (S^k, \star)$ 同伦于 $f^{-1}(p)$ 的坍缩映射，且同伦保持横截性，表明所有横截映射均可由此类几何数据表示。
• 横截同伦群丛 $\Psi_{n,n+1}(X)$ 推广了基本群丛，当 $X = \mathbb{S}^k$ 时，其建模了 $k$-重幺半群 $n$-范畴，支持了在此语境下的挠线假说。