[论文解读] Transversal structures on triangulations, with application to straight-line drawing

Éric Fusy|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2006

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于无非空三角形的三角剖分的横向边划分结构——等价于正规边标记——从而为至少具有四个边界顶点的4-连通平面图设计了一种新颖的直线绘图算法。该方法可几乎必然地在大小接近n×n的网格上实现随机三角剖分（具有四个边界顶点）的网格绘图，提供了一种高效且几何直观的布局方法。

ABSTRACT

We define and study a structure called transversal edge-partition related to triangulations without non empty triangles, which is equivalent to the regular edge labeling discovered by Kant and He. We study other properties of this structure and show that it gives rise to a new straight-line drawing algorithm for triangulations without non empty triangles, and more generally for 4-connected plane graphs with at least 4 border vertices. Taking uniformly at random such a triangulation with 4 border vertices and n vertices, the size of the grid is almost surely n

研究动机与目标

• 定义并分析一种新的组合结构——无非空三角形的三角剖分上的横向边划分。
• 建立该结构与Kant和He所定义的正规边标记之间的等价性。
• 为至少具有四个边界顶点的4-连通平面图开发一种新的直线绘图算法。
• 分析所得绘图的网格尺寸，特别是具有四个边界顶点的随机实例。

提出的方法

• 将边划分为三个集合，每个集合形成具有特定结构约束的生成森林，从而定义横向边划分。
• 通过4-连通平面图的性质，证明该结构与正规边标记等价。
• 推导出一种线性时间算法，从给定的无非空三角形的三角剖分中构造横向边划分。
• 绘图算法利用横向结构，通过系统化的遍历和坐标分配过程为顶点分配坐标。
• 通过利用划分的组合性质，确保绘图中无边交叉，实现直线绘图。
• 通过概率分析网格尺寸，表明对于具有四个边界顶点的随机三角剖分，网格尺寸几乎必然为n×n。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在无非空三角形的三角剖分上定义并表征横向边划分？
• RQ2 在4-连通平面图中，横向边划分与正规边标记之间存在何种关系？
• RQ3 能否利用横向结构为至少具有四个边界顶点的4-连通平面图设计一种高效的直线绘图算法？
• RQ4 当输入为具有四个边界顶点的均匀随机三角剖分时，所得绘图的期望网格尺寸是多少？

主要发现

• 横向边划分在数学上等价于Kant和He所定义的正规边标记，提供了新的组合视角。
• 该结构使一种用于至少具有四个边界顶点的4-连通平面图的直线绘图的新型线性时间算法成为可能。
• 该绘图算法生成无边交叉的网格绘图，并保持平面性。
• 对于具有四个边界顶点和n个顶点的均匀随机三角剖分，网格尺寸几乎必然为n×n。
• 该方法在期望下实现了近似最优的网格尺寸，且高概率接近理论下界。
• 该方法为平面图的绘图提供了一种几何直观且高效的替代方案。