[论文解读] Transversality theory, cobordisms, and invariants of symplectic quotients

Shaun Martin|ArXiv.org|Jan 1, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 27

一句话总结

本文建立了一套基于cobordism理论的框架，用于计算由哈密顿环作用产生的辛商空间的不变量。通过证明水平集 μ⁻¹(p) 在固定点附近与球丛的不相交并集同痕，推导出关于辛体积和椭圆微分算子指标等不变量的显式上同调与K-理论公式，推广了如Duistermaat-Heckman和Guillemin-Sternberg等已有结果。

ABSTRACT

This paper gives methods for understanding invariants of symplectic quotients. The symplectic quotients considered here are compact symplectic manifolds (or more generally orbifolds), which arise as the symplectic quotients of a symplectic manifold by a compact torus. (A companion paper examines symplectic quotients by a nonabelian group, showing how to reduce to the maximal torus.) Let X be a symplectic manifold, with a Hamiltonian action of a compact torus T. The main topological result of this paper describes an explicit cobordism that exists between a symplectic quotient of X by T, and a collection of iterated projective bundles over components of the set of T-fixed-points. The characteristic classes of these bundles can be determined explicitly, and another result uses this to give formulae for integrals of cohomology classes over the symplectic quotient, in terms of data localized at the T-fixed points of X.

研究动机与目标

• 开发一个通用框架，用于计算由哈密顿环作用产生的辛商空间 X//T(p) 的不变量。
• 表征哪些 X//T(p) 的不变量仅依赖于 μ⁻¹(p) 的等变cobordism类。
• 将已知结果如Duistermaat-Heckman定理和几何量子化推广到更广泛的不变量类别。
• 利用固定点处的局部数据，提供上同调配对与K-理论指标的显式公式。

提出的方法

• 使用等变cobordism理论，在 X'（具有有限稳定子群的点的集合）中定义 [μ⁻¹(p)] 在 𝒰_T^*(X') 中的等价类。
• 在不同正则值处的辛商之间构造墙穿越cobordism W/T。
• 证明 μ⁻¹(p) 在每个固定点 F_i ∈ X^T 附近同痕于 d 重奇数维球面 𝒮(F_i) 的不相交并集。
• 利用定向理论与辛几何，确定cobordism边界分量上的正确定向。
• 应用Kirwan映射 κ: H_T^*(X;ℚ) → H_T^*(X//T(p);ℚ)，将等变上同调类与商空间的不变量关联起来。
• 通过分解 T = T' × H 将一般情形约化为一维环的情形，从而允许归纳性的定向与cobordism论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些辛商空间 X//T(p) 的不变量仅由 μ⁻¹(p) 的等变cobordism类决定？
• RQ2 如何利用固定点处的局部数据计算上同调配对 ∫_{X//T(p)} κ(a) ⌣ κ(b)？
• RQ3 水平集 μ⁻¹(p) 与固定点集 X^T 附近子流形之间的精确cobordism关系是什么？
• RQ4 墙穿越cobordism边界分量的定向如何与辛几何及自然几何定向相联系？

主要发现

• 水平集 μ⁻¹(p) 同痕于 d 重奇数维球面 𝒮(F_i) 的不相交并集，每个 𝒮(F_i) 位于固定点 F_i ∈ X^T 的一个小邻域内。
• 商空间 𝒮(F_i)/T 是一个轨道簇，可描述为在 F_i 上的 d 重加权射影丛塔。
• 上同调配对 ∫_{X//T(p)} κ(a) ⌫ κ(b) 完全由在固定点 F_i 处局部化的特征类决定。
• 边界分量 X//T(p₀) 的定向为 −(ω_{p₀})^k，而 X//T(p₁) 的定向为 +(ω_{p₁})^k，与辛定向一致。
• 墙穿越cobordism W(X,T,μ,Z) 局部等价于一维环作用的cobordism，使得一般情形可约化为一维情形。
• K-理论指标公式可类似推导，使用Kirwan映射与cobordism关系的K-理论类比。