[论文解读] Transverse conformal Killing forms and a Gallot-Meyer Theorem for foliations

Seoung Dal Jung, Ken Richardson|ArXiv.org|May 27, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 4

一句话总结

本论文为具有 $C$-正性正常曲率的黎曼叶状结构上的横截共形凯林形式建立了类 Gallot-Meyer 型谱不等式。证明了若一个闭的基本 1-形式满足 $\Delta_B\phi = qC\phi$，则叶状结构横截等距于 $q$-球面的商空间，通过横截微分几何与基本拉普拉斯算子分析，将经典的 Obata 型刚性结果推广至叶状结构情形。

ABSTRACT

We study transverse conformal Killing forms on foliations and prove a Gallot-Meyer theorem for foliations. Moreover, we show that on a foliation with $C$-positive normal curvature, if there is a closed basic 1-form $ϕ$ such that $Δ_Bϕ=qCϕ$, then the foliation is transversally isometric to the quotient of a $q$-sphere.

研究动机与目标

• 将 Gallot-Meyer 定理推广至具有 $C$-正性正常曲率的黎曼叶状结构情形。
• 研究叶状流形上横截共形凯林形式及其谱性质。
• 建立基本拉普拉斯算子特征值与横截几何之间联系的刚性结果。
• 通过基本形式上的谱条件，刻画叶状结构何时横截等距于球面。

提出的方法

• 将横截共形凯林形式定义为满足涉及横截 Levi-Civita 联络与扭量算子的扭曲一阶方程的基本微分形式。
• 利用作用于基本形式上的基本拉普拉斯算子 $\Delta_B$，在曲率假设下分析谱间隙。
• 应用 Meyer 定理的修改版本，推导出 $\Delta_B$ 特征值的下界，具体取决于 $d_B\phi=0$ 或 $\delta_B\phi=0$。
• 利用紧致性定理，可无损失一般性地假设平均曲率为零 $\kappa=0$，从而简化曲率估计。
• 证明若闭合基本 1-形式 $\phi$ 满足 $\Delta_B\phi = qC\phi$，则叶状结构横截等距于 $q$-球面关于 $O(q)$ 的有限子群的商空间。
• 利用叶状结构上的广义 Obata 定理，将谱数据与全局横截几何联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种横截曲率条件下，叶状结构上的基本拉普拉斯算子具有谱间隙？
• RQ2 能否在叶状流形上的横截共形凯林形式上建立类 Gallot-Meyer 型特征值估计？
• RQ3 当闭合基本 1-形式在 $C$-正性正常曲率下达到最小特征值 $qC$ 时，会涌现出何种几何结构？
• RQ4 具有常数 $\beta$ 的特殊横截凯林形式如何与曲率及谱性质相关联？
• RQ5 叶状结构是否存在 Obata 刚性定理的横截类比？

主要发现

• 对任意满足 $1 \leq r \leq q-1$ 的基本 $r$-形式 $\phi$，若 $d_B\phi = 0$，则基本拉普拉斯算子的特征值 $\lambda_B$ 满足 $\lambda_B \geq r(q-r+1)C$；若 $\delta_B\phi = 0$，则 $\lambda_B \geq (r+1)(q-r)C$。
• 若闭合基本 1-形式 $\phi$ 满足 $\Delta_B\phi = qC\phi$，且叶状结构具有 $C$-正性正常曲率，则该叶状结构横截等距于 $q$-球面关于 $O(q)$ 的有限子群的商空间。
• 具有常数 $\beta$ 的特殊横截凯林 $r$-形式满足 $\beta \leq -(r+1)C$，当横截截面曲率为常数 $C$ 时取等。
• 当横截曲率为常数 $C$ 时，所有横截凯林 $r$-形式均为特殊形式，且满足 $\beta = -(r+1)C$。
• 基本拉普拉斯算子保持 $L^2$-形式分解为基本与非基本部分，且谱估计在保持横截几何与 $\kappa=0$ 的度量变换下保持不变。
• 证明依赖于对纤维度量的修改，以消除平均曲率形式，同时保持基本拉普拉斯算子与横截度量，从而可应用曲率估计。