[论文解读] Transverse foliations on the torus $\T^2$ and partially hyperbolic diffeomorphisms on 3-manifolds

Christian Bonatti, Jinhua Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通過證明在2-環面的微分同胚群中存在保持兩種$C^1$葉狀結構之間橫截性的非平凡環路，從而確立了在3-流形上構造部分雙曲微分同胚的拓撲條件。關鍵結果表明，當葉狀結構橫截且不具備平行緊緻葉片，或其平行葉片處於相容的同倫類時，此類環路存在，進而使BPP構造方法可推廣至任何非遍歷的Anosov流，方法為利用Dehn變換。

ABSTRACT

In this paper, we prove that given two $C^1$ foliations $\mathcal{F}$ and $\mathcal{G}$ on $\mathbb{T}^2$ which are transverse, there exists a non-null homotopic loop $\{Φ_t\}_{t\in[0,1]}$ in $\diff^{1}(\T^2)$ such that $Φ_t(\calF)\pitchfork \calG$ for every $t\in[0,1]$, and $Φ_0=Φ_1= Id$. As a direct consequence, we get a general process for building new partially hyperbolic diffeomorphisms on closed $3$-manifolds. \cite{BPP} built a new example of dynamically coherent non-transitive partially hyperbolic diffeomorphism on a closed $3$-manifold, the example in \cite{BPP} is obtained by composing the time $t$ map, $t>0$ large enough, of a very specific non-transitive Anosov flow by a Dehn twist along a transverse torus. Our result shows that the same construction holds starting with any non-transitive Anosov flow on an oriented $3$-manifold. Moreover, for a given transverse torus, our result explains which type of Dehn twists lead to partially hyperbolic diffeomorphisms.

研究动机与目标

• 將BPP中針對特定例子的3-流形上部分雙曲微分同胚的構造方法推廣至更廣泛的情形。
• 建立拓撲準則，確保沿橫截環面的Dehn變換能保持部分雙曲性。
• 描述$\mathrm{Diff}^1(\mathbb{T}^2)$中哪些環路同倫類能保持2-環面上兩種橫截$C^1$葉狀結構之間的橫截性。
• 提供一個通用框架，利用Anosov流的時間-1映射與Dehn變換，構造出魯棒動力協調且絕對部分雙曲的微分同胚。

提出的方法

• 透過分為兩種情況證明定理A：葉狀結構無平行緊緻葉片，以及存在平行葉片的情況。
• 在無平行葉片的情況下，利用T²上的仿射坐標，證明平移能保持橫截性，從而構造出具有指定同倫類的環路。
• 在存在平行葉片的情況下，將T²分解為垂直帶狀區域，其中葉狀結構由恆定錐體分離，並利用垂直平移生成環路。
• 透過將非遍歷Anosov流的時間-$N$映射與沿橫截環面的Dehn變換複合，構造3-流形上的微分同胚。
• 利用定理A中的環路，確保複合後的結果保持強穩定與強不穩定葉狀結構所需的橫截性。
• 應用結構穩定性與嵌條擴張性結果，證明所構造微分同胚的魯棒動力協調性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$\mathbb{T}^2$上兩種橫截的$C^1$葉狀結構滿足何種條件時，存在$\mathrm{Diff}^1(\mathbb{T}^2)$中保持其橫截性全程不變的非平凡環路？
• RQ2 在$\mathrm{Diff}_0(\mathbb{T}^2)$中，哪些環路同倫類能保持兩種具有同倫類$\alpha$之緊緻葉片的橫截葉狀結構之間的橫截性？
• RQ3 BPP所提出的非遍歷、動力協調的部分雙曲微分同胚構造，能否推廣至任何非遍歷Anosov流，而不限於其特定例子？
• RQ4 與非遍歷Anosov流的時間-$t$映射複合時，沿橫截環面的何種Dehn變換能產生部分雙曲微分同胚？
• RQ5 如何確保Dehn變換下強穩定與強不穩定葉狀結構的像之間保持橫截性，從而使最終微分同胚為絕對部分雙曲？

主要发现

• 對於任意一對在$\mathbb{T}^2$上無平行緊緻葉片的橫截$C^1$葉狀結構，存在一個環路$\{\Phi_t\}_{t\in[0,1]}$在$\mathrm{Diff}^1(\mathbb{T}^2)$中，使得$\Phi_0 = \Phi_1 = \mathrm{id}$，對所有$t$有$\Phi_t(\mathcal{F}) \pitchfork \mathcal{G}$，且每個$x \in \mathbb{T}^2$的軌跡為非零同倫類的環路。
• 當$\mathcal{F}$與$\mathcal{G}$具有同倫類$\alpha$的緊緻葉片時，若且唯若$\beta \in \langle \alpha \rangle$（即由$\alpha$生成的循環子群），則存在一個環路，使得每點的軌跡為同倫類$\beta$的環路。
• 該構造允許推廣BPP例子：對於任一閉3-流形上的非遍歷Anosov流，當$N$足夠大時，將其時間-$N$映射與沿橫截環面的Dehn變換複合，可產生部分雙曲微分同胚。
• 所得到的微分同胚$f = \Psi_N \circ X_N$為絕對部分雙曲、魯棒動力協調且嵌條擴張。
• 微分同胚$f$的中心叢滿足均勻擬等距界：對所有$n \in \mathbb{Z}$與單位向量$v \in E^c_f$，有$\|Df^n(v)\| \in [1/C, C]$，暗示中心穩定與中心不穩定方向具有Lyapunov穩定性。
• Anosov流的強穩定與強不穩定葉狀結構在共軛$\psi_{i,N}$下保持不變，確保當$N$足夠大時橫截性得以維持，從而確認最終微分同胚的絕對部分雙曲性。