[论文解读] Transverse Kähler geometry of Sasaki manifolds and toric Sasaki-Einstein manifolds

Akito Futaki, Hajime Ono+1 more|ArXiv.org|Jul 24, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 43

一句话总结

本文将横截凯勒几何推广至Sasaki流形，引入了横截凯勒度量与调和陈形式的障碍，并证明了在紧致环面Sasaki流形上存在横截凯勒-里奇孤立子（Sasaki-里奇孤立子）。当基本第一陈类 $ c_1^B > 0 $ 且接触丛第一陈类 $ c_1(D) = 0 $ 时，关键结果是：此类流形存在Sasaki-Einstein度量当且仅当某一特定不变量 $ f_1 $ 为零；通过形变Reeb场，可在 $ \mathbb{CP}^2 $ 的两点吹破的单位圆丛上构造出非正则的环面Sasaki-Einstein度量。

ABSTRACT

In this paper we study compact Sasaki manifolds in view of transverse Kähler geometry and extend some results in Kähler geometry to Sasaki manifolds. In particular we define integral invariants which obstruct the existence of transverse Kähler metric with harmonic Chern forms. The integral invariant $f_1$ for the first Chern class case becomes an obstruction to the existence of transverse Kähler metric of constant scalar curvature. We prove the existence of transverse Kähler-Ricci solitons (or {\it Sasaki-Ricci soliton}) on compact toric Sasaki manifolds whose basic first Chern form of the normal bundle of the Reeb foliation is positive and the first Chern class of the contact bundle is trivial. We will further show that if $S$ is a compact toric Sasaki manifold with the above assumption then by deforming the Reeb field we get a Sasaki-Einstein structure on $S$. As an application we obtain irregular toric Sasaki-Einstein metrics on the unit circle bundles of the powers of the canonical bundle of the two-point blow-up of the complex projective plane.

研究动机与目标

• 解决紧致Sasaki流形上横截凯勒度量与调和陈形式的存在性问题。
• 将凯勒几何中的障碍推广至Sasaki流形的横截凯勒几何，尤其针对常标量曲率与爱因斯坦度量。
• 在满足 $ c_1^B > 0 $ 且 $ c_1(D) = 0 $ 的紧致环面Sasaki流形上，证明横截凯勒-里奇孤立子（Sasaki-里奇孤立子）的存在性。
• 通过Reeb场形变，建立紧致环面Sasaki流形存在Sasaki-Einstein结构的条件。
• 在单位圆丛上构造 $ \mathbb{CP}^2 $ 的两点吹破流形上非正则环面Sasaki-Einstein度量的显式例子。

提出的方法

• 通过聚焦于Reeb叶状结构及其基本微分形式，定义Sasaki流形上的横截凯勒几何。
• 引入积分不变量 $ f_1 $ 和 $ f $，作为横截凯勒度量与调和陈形式、常标量曲率的障碍。
• 利用横截凯勒形式 $ \omega^T $ 的李导数 $ \mathcal{L}_X $，通过方程 $ \rho^T - (2m+2)\omega^T = \mathcal{L}_X \omega^T $ 定义Sasaki-里奇孤立子。
• 应用哈密顿全纯向量场与矩映射理论，分析锥的横截全纯结构。
• 利用凯勒锥构造与环面对称性，将问题约化为 $ \mathbb{R}^3 $ 中的矩锥 $ C(\mu) \subset \mathbb{R}^3 $ 上的凸几何问题。
• 显式构造辛势函数以实现环面Sasaki度量，并通过形变Reeb场实现Sasaki-Einstein结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sasaki流形上横截凯勒几何的障碍与凯勒几何中的障碍有何类比？
• RQ2 在 $ c_1^B > 0 $ 且 $ c_1(D) = 0 $ 条件下，如何在紧致环面Sasaki流形上建立横截凯勒-里奇孤立子的存在性？
• RQ3 在何种条件下，紧致环面Sasaki流形会存在Sasaki-Einstein度量？
• RQ4 是否可通过形变Reeb场在满足 $ c_1^B > 0 $ 且 $ c_1(D) = 0 $ 的环面Sasaki流形上构造出Sasaki-Einstein结构？
• RQ5 此类构造中所得Sasaki-Einstein度量的性质（正则或非正则）为何？

主要发现

• 积分不变量 $ f_1 $（作为次级障碍）为零当且仅当Sasaki-里奇孤立子为Sasaki-Einstein度量。
• 在任意满足 $ c_1^B > 0 $ 且 $ c_1(D) = 0 $ 的紧致环面Sasaki流形上，横截凯勒-里奇孤立子存在，推广了Wang-Zhu在凯勒几何中的结果。
• 在 $ c_1^B > 0 $ 且 $ c_1(D) = 0 $ 的假设下，紧致环面Sasaki流形存在Sasaki-Einstein度量当且仅当 $ f_1 = 0 $。
• 通过形变Reeb场，可在任意满足 $ c_1^B > 0 $ 且 $ c_1(D) = 0 $ 的紧致环面Sasaki流形上构造Sasaki-Einstein结构。
• 在 $ \mathbb{CP}^2 $ 的两点吹破的单位圆丛上，所得Sasaki-Einstein度量的Reeb向量场为无理数，从而产生非正则Sasaki度量。
• 矩锥各面的内法向量为 $ v_1 = (1,0,0), v_2 = (1,0,1), v_3 = (1,1,2), v_4 = (1,2,1), v_5 = (1,1,0) $，Reeb向量为 $ x_c = \left(3, \frac{9}{16}(-1 + \sqrt{33}), \frac{9}{16}(-1 + \sqrt{33})\right) $，确认其无理性和非正则性。