[论文解读] Transverse measures, the modular class, and a cohomology pairing for Lie algebroids

Sam Evens, Jiang-Hua Lu+1 more|ArXiv.org|Oct 16, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文引入李代数胚的模类作为其一阶李代数胚上同调群中的一个典范元素，该元素源于李代数胚在线丛 $ Q_A = \wedge^{\text{top}}A \otimes \wedge^{\text{top}}T^*P $ 上的自然表示。本文建立了具有平凡系数与扭曲系数的上同调之间的庞加莱型对偶配对，推广了有限维李代数的对偶性，并在全纯情形下将模类与陈类联系起来。

ABSTRACT

We show that every Lie algebroid $A$ over a manifold $P$ has a natural representation on the line bundle $Q_A = \wedge^{top}A \otimes \wedge^{top} T^*P$. The line bundle $Q_A$ may be viewed as the Lie algebroid analog of the orientation bundle in topology, and sections of $Q_A$ may be viewed as transverse measures to $A$. As a consequence, there is a well-defined class in the first Lie algebroid cohomology $H^1(A)$ called the modular class of the Lie algebroid $A$. This is the same as the one introduced earlier by Weinstein using the Poisson structure on $A^*$. We show that there is a natural pairing between the Lie algebroid cohomology spaces of $A$ with trivial coefficients and with coefficients in $Q_A$. This generalizes the pairing used in the Poincare duality of finite-dimensional Lie algebra cohomology. The case of holomorphic Lie algebroids is also discussed, where the existence of the modular class is connected with the Chern class of the line bundle $Q_A$.

研究动机与目标

• 定义李代数胚 $ A $ 在线丛 $ Q_A = \wedge^{\text{top}}A \otimes \wedge^{\text{top}}T^*P $ 上的典范表示，该表示推广了拓扑学中定向丛的概念。
• 将 $ A $ 的模类定义为 $ H^1(A) $ 中的元素，该元素由该表示导出，并证明其与威恩斯坦通过 $ A^* $ 上的泊松结构所给出的早期定义等价。
• 构造具有平凡系数的李代数胚上同调空间与具有 $ Q_A $ 系数的上同调空间之间的自然配对，推广有限维李代数的庞加莱对偶性。
• 探讨模类在全纯情形下的含义，特别是其与 $ Q_A $ 的陈类之间的关系。

提出的方法

• 定义线丛 $ Q_A = \wedge^{\text{top}}A \otimes \wedge^{\text{top}}T^*P $，该丛作为李代数胚对定向丛的类比。
• 构造 $ A $ 在 $ Q_A $ 上的自然表示，从而定义 $ C^1(A, Q_A) $ 中的典范1-上链。
• 利用该1-上链在 $ H^1(A) $，即一阶李代数胚上同调群中定义模类。
• 建立 $ H^k(A; \mathbb{R}) $ 与 $ H^{\text{top}-k}(A; Q_A) $ 之间的非退化配对，推广庞加莱对偶性。
• 将该理论应用于全纯李代数胚，证明模类与 $ Q_A $ 的第一陈类相关。
• 验证该理论与现有定义的一致性，包括威恩斯坦通过 $ A^* $ 上的泊松结构所定义的模类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为任意李代数胚关联一个典范线丛，其几何或上同调角色是什么？
• RQ2 模类在 $ H^1(A) $ 中的上同调意义是什么，它与横截测度有何关联？
• RQ3 能否在具有不同系数的李代数胚上同调群之间构造出庞加莱型对偶配对？
• RQ4 模类在全纯情形下如何表现，其与特征类有何关联？
• RQ5 通过 $ Q_A $ 上表示定义的模类是否与通过 $ A^* $ 上泊松结构定义的模类等价？

主要发现

• 线丛 $ Q_A = \wedge^{\text{top}}A \otimes \wedge^{\text{top}}T^*P $ 携带李代数胚 $ A $ 的自然表示，使其成为与 $ A $ 相关联的典范几何对象。
• 李代数胚 $ A $ 的模类被定义为由该表示关联的1-上链所导出的 $ H^1(A) $ 中的上同调类，且其与选择无关。
• 该模类与威恩什坦先前通过 $ A^* $ 上的泊松结构所定义的模类完全一致。
• 构造了 $ H^k(A; \mathbb{R}) $ 与 $ H^{\text{top}-k}(A; Q_A) $ 之间的非退化配对，推广了有限维李代数的庞加莱对偶性。
• 在全纯情形下，模类被证明与 $ Q_A $ 的第一陈类相关，从而提供了特征类的解释。
• 该理论为李代数胚上同调中的横截测度与对偶性提供了一个统一框架，将经典结果推广至李代数胚设定。