[论文解读] Travel time tomography with adaptive dictionaries

Michael J. Bianco, Peter Gerstoft|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文提出了一种局部稀疏走时层析成像（LST）方法，这是一种2D地震反演技术，结合自适应字典学习与慢度块的稀疏正则化以及全局$β$-正则化，可同时建模光滑和不连续的地下结构。通过为小尺度特征学习数据自适应字典，并采用最大后验概率优化，LST在不规则射线覆盖和含噪条件下重建合成慢度图的表现优于传统的平滑化和总变差方法。

ABSTRACT

We develop a 2D travel time tomography method which regularizes the inversion by modeling groups of slowness pixels from discrete slowness maps, called patches, as sparse linear combinations of atoms from a dictionary. We propose to use dictionary learning during the inversion to adapt dictionaries to specific slowness maps. This patch regularization, called the local model, is integrated into the overall slowness map, called the global model. The local model considers small-scale variations using a sparsity constraint and the global model considers larger-scale features constrained using $\ell_2$ regularization. This strategy in a locally-sparse travel time tomography (LST) approach enables simultaneous modeling of smooth and discontinuous slowness features. This is in contrast to conventional tomography methods, which constrain models to be exclusively smooth or discontinuous. We develop a $ extit{maximum a posteriori}$ formulation for LST and exploit the sparsity of slowness patches using dictionary learning. The LST approach compares favorably with smoothness and total variation regularization methods on densely, but irregularly sampled synthetic slowness maps.

研究动机与目标

• 为解决传统走时层析成像方法仅强制光滑性或不连续性的问题，通过同时建模这两种特征来改进。
• 通过整合局部稀疏性与全局正则化，提升在不规则射线采样和含噪数据下的病态层析成像问题的反演精度。
• 开发一种数据自适应字典学习框架，使稀疏表示适配特定慢度图，从而提升重建保真度。
• 证明基于自适应字典的局部稀疏建模在性能上优于通用字典、平滑化和总变差正则化方法。

提出的方法

• 该方法构建了混合全局-局部模型：全局模型采用$\ell_2$正则化以捕捉大尺度慢度趋势，而局部模型通过自适应字典在小块上强制稀疏性。
• 慢度块表示为从学习得到的字典中选取的原子的稀疏线性组合，其中原子通过迭代阈值化与符号K均值（ITKM）算法进行更新。
• 采用最大后验概率（MAP）公式，整合数据拟合项、全局$\ell_2$正则化项以及基于学习字典的局部稀疏正则化项。
• 字典学习通过迭代方式进行：首先为每个块识别与之内积绝对值最大的$T$个原子，然后在单位范数约束下使用拉格朗日优化方法更新原子。
• 算法在稀疏编码（寻找系数）与字典更新（优化原子）之间交替进行，收敛性通过走时和慢度的RMSE进行监控。
• 该方法在含2%高斯走时误差的合成2D面波层析成像问题上进行了测试，采用棋盘状和光滑-不连续慢度图作为模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 与固定字典或全局正则化方法相比，自适应字典学习是否能提升2D走时层析成像中对光滑与不连续特征的重建性能？
• RQ2 在含噪和不规则射线采样条件下，基于自适应字典的局部稀疏模型与传统平滑化和总变差正则化方法相比，其慢度重建精度如何？
• RQ3 学习特定于数据的字典在地震层析成像中是否显著优于通用字典（如小波字典）？
• RQ4 稀疏度水平$T$和正则化参数对LST反演收敛性和精度的影响如何？

主要发现

• 在100次含噪走时数据实现中，LST在棋盘状和光滑-不连续合成图上的平均慢度RMSE均低于传统方法和总变差方法，且在两类模型上均表现出一致的性能提升。
• 在2%走时误差条件下，LST将慢度RMSE较传统层析成像降低最多达30%，较总变差正则化降低最多达20%。
• 字典学习显著提升了重建精度：采用自适应字典的LST优于使用固定小波字典的LST，尤其在分辨锐利不连续性方面表现更优。
• LST算法收敛稳定，走时RMSE随迭代次数单调下降，表明优化过程稳健。
• 该方法有效平衡了局部稀疏性与全局平滑性，既保留了慢度场中的细尺度不连续性，也保持了大尺度趋势。
• 在不规则射线覆盖区域，性能提升最为显著，传统方法和TV方法常出现模糊或振铃伪影。