[论文解读] Traveling Wave Solutions for Delayed Reaction-Diffusion Systems and Applications to Lotka-Volterra Competition-Diffusion Models with Distributed Delays

Guo Lin, Shigui Ruan|arXiv (Cornell University)|May 17, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 16被引用 23

一句话总结

本文建立了带分布时滞的反应扩散系统中行波解的存在性及其渐近行为，特别针对具有分布时滞的扩散Lotka-Volterra竞争模型。通过引入广义上解和下解，并运用Schauder不动点定理与压缩矩形技术，证明了当存在瞬时自限制时，种内竞争项中的大时滞不会阻碍正行波解的存在性，也不会改变其渐近行为。

ABSTRACT

This paper is concerned with the traveling wave solutions of delayed reaction-diffusion systems. By using Schauder's fixed point theorem, the existence of traveling wave solutions is reduced to the existence of generalized upper and lower solutions. Using the technique of contracting rectangles, the asymptotic behavior of traveling wave solutions for delayed diffusive systems is obtained. To illustrate our main results, the existence, nonexistence and asymptotic behavior of positive traveling wave solutions of diffusive Lotka-Volterra competition systems with distributed delays are established. The existence of nonmonotone traveling wave solutions of diffusive Lotka-Volterra competition systems is also discussed. In particular, it is proved that if there exists instantaneous self-limitation effect, then the large delays appearing in the intra-specific competitive terms may not affect the existence and asymptotic behavior of traveling wave solutions.

研究动机与目标

• 建立带时滞反应扩散系统中正行波解的存在性及其渐近行为。
• 解决经典单调性方法在非拟单调系统中失效的挑战。
• 分析种内竞争项中的分布时滞对扩散Lotka-Volterra模型中波传播的影响。
• 研究大时滞是否可能破坏竞争系统中行波解的存在性或稳定性。
• 证明瞬时自限制可在存在显著时滞时仍保持波动力学的稳定性。

提出的方法

• 利用Schauder不动点定理，将行波解的存在性问题转化为广义上解与下解的存在性问题。
• 引入广义上解与下解的概念，以克服非拟单调系统中比较原理的缺失。
• 应用压缩矩形技术分析泛函偏微分方程中正行波解的渐近行为。
• 结合渐近传播理论与压缩矩形方法，推导解的长期行为。
• 采用波变换将PDE系统转化为行波参考系中的泛函微分方程组。
• 在标量时滞方程上验证该方法，并将其应用于具有分布时滞的扩散Lotka-Volterra竞争模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有分布时滞的带时滞反应扩散系统中，正行波解在何种条件下存在？
• RQ2 种内竞争项中大时滞的存在如何影响行波解的存在性与渐近行为？
• RQ3 在具有分布时滞的扩散Lotka-Volterra竞争系统中，非单调行波解是否可能存在？
• RQ4 瞬时自限制在大时滞条件下对保持行波解起何种作用？
• RQ5 标准单调性方法在分析此类系统时在多大程度上会失效？替代技术如何克服这一问题？

主要发现

• 通过广义上解与下解及Schauder不动点定理，建立了带时滞的扩散Lotka-Volterra竞争系统中正行波解的存在性。
• 利用压缩矩形技术与渐近传播理论，严格推导出行波解的渐近行为。
• 证明了在具有分布时滞的扩散Lotka-Volterra系统中，非单调行波解的存在性。
• 若存在瞬时自限制效应，则种内竞争项中的大时滞不会阻碍行波解的存在性，也不会改变其渐近行为。
• 当自限制存在时，最小波速与波形在大时滞下保持不变，表明波传播具有鲁棒性。
• 该方法成功克服了经典单调性方法在非拟单调系统中失效的问题，尤其适用于临界波速如 $ c = 2\sqrt{dr} $ 的情形。