[论文解读] Travelling and rotating solutions to the generalized inviscid surface quasi-geostrophic equation

Weiwei Ao, Juan Dávila+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 23被引用 12

一句话总结

该论文通过奇异摄动方法对点涡配置进行去奇异化，构造了二维广义无粘表面准地转方程在 $0 < s < 1$ 条件下的行进与旋转解。关键结果是证明了径向基态在分数阶等离子体问题中的非退化性，从而实现了围绕预定轨迹（直线运动或旋转）的规则解的存在性。

ABSTRACT

For the generalized surface quasi-geostrophic equation $$\left\{ \begin{aligned} &amp; \partial_t θ+u\cdot abla θ=0, \quad ext{in } \mathbb{R}^2 imes (0,T), \\ &amp; u= abla^\perp ψ, \quad ψ= (-Δ)^{-s}θ\quad ext{in } \mathbb{R}^2 imes (0,T) , \end{aligned} ight. $$ $0

研究动机与目标

• 构造广义表面准地转方程的规则解，使其在运动点涡周围集中。
• 将涡旋去奇异化问题推广至 $0 < s < 1$ 的分数阶情形。
• 建立行进与旋转解的存在性，其中涡旋轨迹由分数阶点涡系统规定。
• 证明分数阶等离子体问题 $(-\Delta)^s W = (W-1)^\gamma_+$ 的径向基态解 $W$ 的非退化性，这对构造过程至关重要。
• 验证当 $\varepsilon \to 0$ 时解的渐近行为，弱收敛于移动涡旋位置处的Dirac测度叠加。

提出的方法

• 使用奇异摄动框架，构造在 $k$ 个涡旋处集中且具有预设动力学的解。
• 将问题约化为涉及反分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{-s}$ 的分数阶椭圆方程。
• 基于分数阶等离子体问题的径向基态 $W$，采用对称试探解 $\psi_0$。
• 应用L yapunov-Schmidt约化与同调论方法，在对称性约束下求解所得非线性问题。
• 利用 $W$ 在奇对称与偶对称下的非退化性，确保在对称类中解的存在性。
• 通过涉及泛函 $I(\mathbf{b})$ 或 $J(\mathbf{b})$ 的摄动论证调整涡旋位置，其中小误差项在平移或旋转下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为广义表面准地转方程构造规则解，使其在沿直线以恒定速度运动的 $k$ 个涡旋周围集中？
• RQ2 能否构造旋转解，使得 $k$ 个涡旋以相同的角速度绕原点均匀旋转？
• RQ3 分数阶等离子体问题中径向基态 $W$ 的非退化性在构造此类解中起什么作用？
• RQ4 分数阶情形 ($0 < s < 1$) 中的涡旋动力学与经典情形 $s=1$（二维Euler方程）和 $s=1/2$（SQG）有何不同？
• RQ5 奇异摄动方法能否在相同分析框架下适应行进与旋转构型？

主要发现

• 对于 $k=2$ 的情形，对称涡旋对沿 $x_2$-轴以恒定速度 $c$ 运动，行进涡旋解存在，其由约化后的分数阶椭圆方程导出。
• 对于 $k$ 个涡旋对称分布在原点周围并以角速度 $\alpha$ 旋转的情形，旋转涡旋解存在，且在相同的约化框架下成立。
• 证明了在 $\mathbb{R}^2$ 中，分数阶等离子体问题 $(-\Delta)^s W = (W-1)^\gamma_+$ 的径向基态 $W$ 在 $1 < \gamma < \frac{1+s}{1-s}$ 条件下的非退化性，这对构造过程至关重要。
• 解 $\theta_\varepsilon(x,t)$ 满足当 $\varepsilon \to 0$ 时弱收敛于 $\sum_{j=1}^k m_j \delta(x - \xi_j(t))$，其中 $\xi_j(t)$ 沿预设的行进或旋转轨迹运动。
• 该构造依赖于对称试探解与基于度理论的论证，以求解摄动系统，且误差项在平移或旋转下保持不变。
• 对于行进与旋转两种情形，涡旋位置均被证明为对称构型的摄动，其存在性通过局部正交分解与隐函数型论证得以保证。