[论文解读] Tree Decompositions Meet Induced Matchings: Beyond Max Weight Independent Set

Paloma T. Lima, Martin Milanič+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文引入了诱导匹配树宽这一新的图参数，将最大权独立集问题的可解性扩展到更广泛的图类。该文提出了一个在有界诱导匹配树宽图上求解最小权反馈顶点集的多项式时间算法，并推测在这些图类中，满足CMSO2公式的最大权诱导子图可高效计算——该猜想已在有界树独立数（一个关键子类）的图中得到证明。

ABSTRACT

For a tree decomposition $\mathcal{T}$ of a graph $G$, by $μ(\mathcal{T})$ we denote the size of a largest induced matching in $G$ all of whose edges intersect one bag of $\mathcal{T}$. Induced matching treewidth of a graph $G$ is the minimum value of $μ(\mathcal{T})$ over all tree decompositions $\mathcal{T}$ of $G$. Yolov [SODA 2018] proved that Max Weight Independent Set can be solved in polynomial time for graphs of bounded induced matching treewidth. In this paper we explore what other problems are tractable in such classes of graphs. As our main result, we give a polynomial-time algorithm for Min Weight Feedback Vertex Set. We also provide some positive results concerning packing induced subgraphs, which in particular imply a PTAS for the problem of finding a largest induced subgraph of bounded treewidth. These results suggest that in graphs of bounded induced matching treewidth, one could find in polynomial time a maximum-weight induced subgraph of bounded treewidth satisfying a given CMSO$_2$ formula. We conjecture that such a result indeed holds and prove it for graphs of bounded tree-independence number, which form a rich and important family of subclasses of graphs of bounded induced matching treewidth. We complement these algorithmic results with a number of complexity and structural results concerning induced matching treewidth.

研究动机与目标

• 将NP难问题在有界诱导匹配树宽图中的算法可解性扩展至最大权独立集之外的更广范围。
• 研究有界诱导匹配树宽图中最小权反馈顶点集是否可在多项式时间内求解。
• 探索在有界诱导匹配树宽图中，是否能高效计算满足有界树宽且满足CMSO2公式的最大权诱导子图。
• 建立诱导匹配树宽的结构与复杂性界限，包括其与mim-width和树独立数等其他宽度参数的关系。
• 推测并部分证明：在排除完全二分图（bicliques）的条件下，有界诱导匹配树宽图是χ-有界的，且为(tw, ω)-有界的。

提出的方法

• 将诱导匹配树宽定义为：在所有树分解中，其边与单个节点袋相交的最大诱导匹配的大小的最小值。
• 设计一种针对有界诱导匹配树宽图的动态规划方法，扩展了有界树宽图算法的技术。
• 证明：对于有界树独立数（有界诱导匹配树宽图的一个子类），任何在CMSO2中可定义的最大权诱导子图均可在多项式时间内计算。
• 利用树独立数和图复合操作（如G◦[H]、图幂）分析其结构特性和算法影响。
• 建立诱导匹配树宽与其他宽度参数（如mim-width、sim-width）之间的关系，表明其不可比较性并揭示层级结构。
• 提供复杂性结果，包括计算诱导匹配树宽的NP难性，以及其在有界度图和无完全二分图图中的行为界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界诱导匹配树宽图中，最小权反馈顶点集是否可在多项式时间内求解？
• RQ2 在有界诱导匹配树宽图中，是否能以多项式时间计算满足给定CMSO2公式的最大权诱导子图？
• RQ3 在排除完全二分图的条件下，有界诱导匹配树宽是否意味着(tw, ω)-有界性或χ-有界性？
• RQ4 诱导匹配树宽与mim-width、o-mim-width、sim-width等其他宽度参数有何关系？
• RQ5 能否高效计算诱导匹配宽度较小的树分解？或者该参数是否难以计算？

主要发现

• 最小权反馈顶点集可在有界诱导匹配树宽图中以多项式时间求解。
• 通过小子图的独立打包，提供了一种用于寻找有界树宽最大诱导子图的PTAS。
• 对于有界树独立数图，任何满足CMSO2公式的最大权诱导子图均可在多项式时间内计算。
• 诱导匹配树宽与mim-width和o-mim-width不可比较，且严格弱于sim-width。
• 排除固定完全二分图作为子图的有界诱导匹配树宽图是(tw, ω)-有界的，暗示其具有丰富的结构特性。
• 计算图的诱导匹配树宽是NP难的，且在某些自然图族（包括某些图幂和完全二分图丰富的图）中无界。