[论文解读] Tree Oriented Data Analysis

Sean Skwerer|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Risk and Portfolio Optimization参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通过在BHV树空间中使用弗雷chet均值对树状结构数据（特别是人类脑动脉系统）进行建模，开发了新颖的统计方法来分析此类数据。研究提出了基于微分优化和内点法计算弗雷chet均值的算法，建立了关于拓扑稳定性的粘滞大数定律，并提出了基于最小长度代表性序列的树空间核平滑方法，以揭示动脉树结构随年龄变化的特征。

ABSTRACT

Complex data objects arise in many areas of modern science including evolutionary biology, nueroscience, dynamics of gene expression and medical imaging. Object oriented data analysis (OODA) is the statistical analysis of datasets of complex objects. Data analysis of tree data objects is an exciting research area with interesting questions and challenging problems. This thesis focuses on tree oriented statistical methodologies, and algorithms for solving related mathematical optimization problems. This research is motivated by the goal of analyzing a data set of images of human brain arteries. The approach we take here is to use a novel representation of brain artery systems as points in phylogenetic treespace. The treespace property of unique global geodesics leads to a notion of geometric center called a Fréchet mean. For a sample of data points, the Fréchet function is the sum of squared distances from a point to the data points, and the Fréchet mean is the minimizer of the Fréchet function. In this thesis we use properties of the Fréchet function to develop an algorithmic system for computing Fréchet means. Properties of the Fréchet function are also used to show a sticky law of large numbers which describes a surprising stability of the topological tree structure of sample Fréchet means at that of the population Fréchet mean. We also introduce non-parametric regression of brain artery tree structure as a response variable to age based on weighted Fréchet means.

研究动机与目标

• 开发用于分析复杂树状结构数据（特别是人类脑动脉系统）的统计方法，目标是在系统发育树空间中进行分析。
• 解决在BHV树空间中计算弗雷chet均值的挑战，其中测地线和几何中心通过最小化平方距离和来定义。
• 建立弗雷chet函数的理论性质，包括解释样本均值拓扑稳定性的粘滞大数定律。
• 通过加权弗雷chet均值和树空间核平滑，实现树结构对年龄的非参数回归。
• 通过最小长度代表性序列减少纵向树数据中的拓扑变异性，实现高效汇总。

提出的方法

• 通过从血管树结构出发的新型几何映射，将脑动脉系统表示为BHV树空间中的点。
• 通过在边长优化上应用阻尼牛顿法计算弗雷chet均值，包含最优性判定与步长选择。
• 使用内点法求解边长的约束优化问题，确保收敛至弗雷chet均值。
• 应用循环分裂邻近点算法与归纳均值方法，在树空间中进行全局搜索。
• 采用带带宽选择的树空间核平滑方法，对年龄相关的树状结构数据进行平滑估计。
• 提出最小长度代表性序列算法，以最小化序列长度的同时保留代表性拓扑，用于汇总跨年龄组的拓扑变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效计算BHV树空间中复杂树状结构数据（如脑动脉）的弗雷chet均值？
• RQ2 弗雷chet函数在树空间中的理论性质是什么，特别是关于稳定性与收敛性的性质？
• RQ3 样本弗雷chet均值的拓扑结构在多大程度上会稳定在总体均值周围？这种行为的成因是什么？
• RQ4 如何利用树空间核平滑来建模动脉树结构随年龄的变化？
• RQ5 为汇总跨年龄组的纵向树状结构数据，所需的最小代表性拓扑序列是什么？

主要发现

• 在BHV树空间中，弗雷chet函数表现出粘滞大数定律，样本弗雷chet均值以高概率继承总体均值的拓扑结构。
• 在树空间核平滑中，当带宽 h=4,5,6 时，代表性拓扑稳定为整个数据集的总体弗雷chet均值，表明随着平滑程度增加，动脉树结构趋于收敛至稳定形态。
• 在最小长度代表性序列中，不同拓扑的数量从无平滑时的85种减少至带宽 h≥4 时的仅1种，表明大带宽下拓扑结构显著简化。
• 对于窄带宽（h=1,2,3），需要多个代表性拓扑——例如 h=2 需要两个拓扑来分别捕捉20–38岁与39–68岁两个年龄区间的结构特征——表明早期与晚期生命阶段存在结构变异性。
• 在 h=1,2,3 时，总树长度波动与平滑后边数之间存在正相关，表明拓扑变化是长度变化的主要驱动因素。
• 当 h=4,5,6 时，代表性拓扑与总体弗雷chet均值完全一致，证实该拓扑代表了整个年龄范围内最稳定、最中心的动脉结构。