[论文解读] Tree representations of Galois groups

Nigel Boston|ArXiv.org|Sep 18, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文提出，无限、有限生成的p进伽罗瓦群——特别是那些在p处无瑕的群——在根p叉树的自同构群中具有大像的表示，这种大像通过正的豪斯多夫维数来衡量。论文猜想这些群是分支群，通过树表示为研究无瑕Fontaine-Mazur猜想提供了新途径，可能揭示标准p进表示无法触及的结构性质。

ABSTRACT

Much work has gone into matrix representations of Galois groups, but there is a whole new class of naturally occurring representations that have as yet gone almost unnoticed. In fact, it is well-known in various areas of mathematics that the main sources of totally disconnected groups are matrix groups over local fields AND automorphism groups of locally finite trees. It is perhaps surprising then that representations of Galois groups into the latter have been almost ignored, while at the same time Galois representations into the former have been enormously effective in resolving long-standing problems in number theory. These ``tree'' representations are important as regards topics such as the unramified Fontaine-Mazur conjecture. This conjecture states that any p-adic representation of the Galois group of an extension unramified at p (and ramified at only finitely many primes) should have finite image. In other words, p-adic representations say little about such Galois groups. This paper proposes the conjecture that these Galois groups should, on the other hand, have representations with large image (measured by Hausdorff dimension) in the automorphism group of a rooted tree. Thus, they might allow us to investigate the structure of the Galois group of infinite pro-p extensions (such as Hilbert p-class towers), something unapproachable by standard p-adic representation methods.

研究动机与目标

• 探索伽罗瓦群到根树自同构群的表示，作为标准p进表示的替代方案。
• 解决p进表示在研究希尔伯特p类塔等无限p进扩张时的局限性。
• 通过豪斯多夫维数研究伽罗瓦群GK,S的单无穷p进商群是否为分支群。
• 通过将伽罗瓦群自同构群结构与无瑕Fontaine-Mazur猜想联系起来，加强该猜想。
• 通过几何与群论方法，提出理解伽罗瓦群结构的新框架。

提出的方法

• 将根p叉树自同构群W的闭子群G的豪斯多夫维数定义为 lim infₙ→∞ log|Gₙ| / log|Wₙ|，其中Gₙ是G在有限商群Wₙ中的像。
• 使用无限二叉树的pro-2自同构群W = lim←Wₙ作为伽罗瓦表示的目标。
• 将“大像”概念不以有限指数衡量，而是通过正的豪斯多夫维数来捕捉其结构性质。
• 利用格里戈尔丘克型（分支）群及其豪斯多夫维数的已知结果，例如第一个维数为5/8的例子。
• 通过有限生成p进群在W中的嵌入，将p进群的豪斯多夫维数定义为所有此类嵌入中的上确界。
• 借助Odoni-Stoll的结果：迭代多项式x²+1的伽罗瓦群满射到无限二叉树的pro-2自同构群W，提供了一个大像树表示的具体例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将数域在有限集合S外无瑕的伽罗瓦群表示为根树自同构群中的大像，以正的豪斯多夫维数衡量？
• RQ2 所有GK,S的单无穷p进商群（K为数域，S不包含p上的素数）是否都是分支群，即p叉树自同构群的子群且具有非平凡豪斯多夫维数？
• RQ3 此类树表示的存在是否为研究无限p进扩张提供了p进表示的可行替代方案？
• RQ4 能否通过迭代二次覆盖系统地构造此类树表示？
• RQ5 这些树表示中的弗罗贝尼乌斯元素是否携带类似于模形式中迹的算术信息？

主要发现

• 论文提出，每个单无穷p进群的豪斯多夫维数为零当且仅当它不是分支群，由此提出猜想1：单无穷p进群是分支群当且仅当其豪斯多夫维数非零。
• 猜想2提出，所有GK,S的单无穷p进商群（S在p处无瑕）都是分支群，这将蕴含无瑕Fontaine-Mazur猜想。
• Odoni-Stoll结果提供了一个具体例子：迭代多项式x²+1的伽罗瓦群满射到无限二叉树的pro-2自同构群W。
• 格里戈尔丘克群的第一个例子的豪斯多夫维数为5/8，展示了具有正维数的非平凡分支群示例。
• 论文表明，Zp和Fp[[T]]上的线性表示无法描述所有单无穷p进群，暗示需要替代表示方法，如嵌入到树自同构群中的表示。
• 该猜想意味着具有无限p进商群的伽罗瓦群应能以正豪斯多夫维数嵌入W，从而为研究其结构提供新的几何不变量。