[论文解读] Tree spanners of small diameter

Ioannis Papoutsakis|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文研究了在无向图中是否存在直径至多为 t+1 的树 t-跨度生成树。对于 t=3，提出了一个多项式时间算法；对于 t≥4，证明了其为 NP-完全问题，从而解决了 t≤3 时的复杂性状态，并确立了更大 t 值下的计算难度。

ABSTRACT

A graph that contains a spanning tree of diameter at most $t$ clearly admits a tree $t$-spanner, since a tree $t$-spanner of a graph $G$ is a sub tree of $G$ such that the distance between pairs of vertices in the tree is at most $t$ times their distance in $G$. In this paper, graphs that admit a tree $t$-spanner of diameter at most $t+1$ are studied. For $t$ equal to 1 or 2 the problem has been solved. For $t=3$ we present an algorithm that determines if a graph admits a tree 3-spanner of diameter at most 4. For $t\geq4$ it is proved that it is an NP-complete problem to decide whether a graph admits a tree $t$-spanner of diameter at most $t+1$.

研究动机与目标

• 确定判断图是否允许存在直径至多为 t+1 的树 t-跨度生成树的计算复杂性。
• 解决树 3-跨度生成树问题在直径约束下的开放复杂性状态。
• 刻画可容纳此类跨度生成树的图类，并为较小的 t 值提供算法解法。
• 基于 t 的取值，建立可 tractable 与 NP-完全情况之间的二分法。

提出的方法

• 开发了一种多项式时间算法，用于检测图中是否存在直径至多为 4 的树 3-跨度生成树。
• 引入 t-中心（中心顶点或边）的概念，定义 t-星图，并将其与跨度生成树的存在性关联。
• 以 t-中心为根使用广度优先搜索生成树，构造具有有界直径的候选跨度生成树。
• 应用图论结构分析，包括诱导圈和完美图的性质，来研究跨度生成树并集的结构。
• 通过图构造（如 h(f(I),t)）将已知的 NP-完全问题归约，以证明 t≥4 时的 NP-完全性。
• 利用 t-星图与存在直径至多为 t 的生成树的图之间的等价性（引理 1）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 t 值，判断图是否允许存在直径至多为 t+1 的树 t-跨度生成树的问题是可 tractable 的？
• RQ2 能否设计出一种高效算法，用于识别允许存在直径至多为 4 的树 3-跨度生成树的图？
• RQ3 图的哪些结构性质可保证此类小直径跨度生成树的存在？
• RQ4 该问题是否对所有 t≥4 均为 NP-完全？若是，其成立的条件是什么？
• RQ5 树 t-跨度生成树的并集行为如何，特别是其诱导圈结构方面？

主要发现

• 判断图是否允许存在直径至多为 t+1 的树 t-跨度生成树的问题，对于 t≤3 可在多项式时间内求解。
• 针对 t=3 的情况，提供了一个具体多项式时间算法，用于判断图是否允许存在直径至多为 4 的树 3-跨度生成树。
• 对于 t≥4，该问题被证明为 NP-完全，从而确立了复杂性上的二分法。
• 本文证明，任意两个树 3-跨度生成树的并集不能包含除三角形外的奇数诱导圈，且此类并集为完美图。
• 可容纳 t-中心（即 t-星图）的图，恰好是那些可容纳直径至多为 t 的生成树的图。
• 从以 t-中心为根的最短路径生成树构造树 t-跨度生成树，可保证其直径至多为 t+1（当 t≥4 时），但该决策问题仍为 NP-完全。