[论文解读] Trees and linear anticomplete pairs

Maria Chudnovsky, Alex Scott+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文证明了一个猜想：对于任意森林 $ H $，任何最大度低于某一阈值 $ \epsilon n $ 的 $ H $-自由图 $ G $，必定包含两个不相交的线性规模的顶点集，其间无边相连。作为推论，该结果表明：若一个图不包含森林 $ H $ 及其补图作为诱导子图，则其必然存在大小为多项式级别的团或稳定集。

ABSTRACT

We prove a conjecture of Liebenau, Pilipczuk, and the last two authors, that for every forest $H$ there exists $\epsilon>0$, such that if $G$ has $n\ge 2$ vertices and does not contain $H$ as an induced subgraph, and has maximum degree less than $\epsilon n$, then there are two disjoint sets $A,B\subseteq V(G)$ with $|A|,|B|\ge \epsilon n$, such that there are no edges between $A,B$. (It is known that no graphs $H$ except forests have this property.) Consequently we prove that for every forest $H$, there exists $c>0$ such that for every graph $G$ containing neither $H$ nor its complement as an induced subgraph, there is a clique or stable set of cardinality at least $|V(G)|^c$.

研究动机与目标

• 解决 Liebenau、Pilipczuk 等人关于稀疏图中诱导子图的猜想。
• 在最大度有界的 $ H $-自由图中，建立大尺寸互不连通对存在的证明。
• 推导出在不包含森林及其补图作为诱导子图的图中，团或稳定集大小的多项式下界。
• 刻画不包含森林及其补图作为诱导子图的图的结构特性。

提出的方法

• 证明关于在最大度低于 $ \epsilon n $ 的 $ H $-自由图中存在大尺寸互不连通对的猜想，其中 $ \epsilon > 0 $ 为依赖于 $ H $ 的常数。
• 使用结构图论技术，分析在度约束下 $ H $-自由图的分解结构。
• 应用拉姆齐理论推理，表明若图中不包含 $ H $ 及其补图作为诱导子图，则必然存在大尺寸的同质集合。
• 利用仅当 $ H $ 为森林时该性质才成立的事实，从而限制所考虑图类的范围。
• 通过互不连通对建立 $ H $-诱导子图缺失与大稳定集或团存在性之间的联系。
• 运用极值图论，以图的顶点数为基准，界定团或稳定集的最小大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否对每个森林 $ H $，在任意最大度低于 $ \epsilon n $ 的 $ H $-自由图中，均存在两个不相交的、大小至少为 $ \epsilon n $ 的顶点集，且其间无边相连？
• RQ2 在不包含森林 $ H $ 及其补图作为诱导子图的图中，会涌现出何种结构特性？
• RQ3 在稀疏图中，若某森林 $ H $ 不作为诱导子图出现，是否能强制存在大尺寸的互不连通对？
• RQ4 强制存在大尺寸互不连通对的性质是否仅属于森林 $ H $？
• RQ5 在不包含 $ H $ 及其补图作为诱导子图的图中，团或稳定集的最小大小是多少？

主要发现

• 对每个森林 $ H $，存在 $ \epsilon > 0 $，使得任意最大度小于 $ \epsilon n $ 的 $ H $-自由图 $ G $，均包含两个大小至少为 $ \epsilon n $ 的不相交顶点集 $ A $ 和 $ B $，且 $ A $ 与 $ B $ 之间无边相连。
• 此类互不连通对的存在性仅对森林 $ H $ 成立；对非森林，该性质不成立。
• 因此，任何不包含森林 $ H $ 及其补图作为诱导子图的图 $ G $，必然包含大小至少为 $ |V(G)|^c $ 的团或稳定集，其中 $ c > 0 $ 为依赖于 $ H $ 的常数。
• 该结果确认了一种类结构二分性：若图不包含森林及其补图作为诱导子图，则其必含大尺寸的同质集合。
• 同质集合大小的界为顶点数的多项式函数，从而提供了强有力的拉姆齐型保证。
• 证明中建立了依赖于 $ H $ 的定量阈值 $ \epsilon $，确保在度约束下大尺寸互不连通对的存在性。