[论文解读] Trees in renorming theory

Richard Haydon|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 1995

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文研究与树相关的巴拿赫空间的重赋范性质，建立了在树 $\Upsilon$ 上的空间 $\C_0(\Upsilon)$ 存在局部一致旋转（LUR）、严格凸及凯德斯（Kadec）范数的充要条件。研究证明，有限分支的树可实现凯德斯重赋范，且构造了一个可凯德斯重赋范但不可严格凸化的空间，从而解决了重赋范理论中的长期悬而未决问题，包括严格凸重赋范的三空间问题以及中点局部一致凸性与LUR重赋范性之间的关系。

ABSTRACT

Trees are very agreeable objects to work with, offering a diversity of behaviour within a structure that is sufficiently simple to admit precise analysis. Thus we are able to offer fairly satisfactory necessary and sufficient conditions on a tree $Υ$ for the existence of equivalent LUR or strictly convex norms on $\C_0(Υ)$ and for norms with the Kadec Property. In particular, we show that for a {\sl finitely branching} tree $Υ$ the space $\C_0(Υ)$ admits a Kadec renorming. Since some finitely branching trees fail the condition for strictly convex renormability, we obtain an example of a Banach space that is Kadec renormable but not strictly convexifiable. Consideration of specially tailored examples enables us to answer the ``three-space problem'' for strictly convex renorming: there exists a Banach space $X$ with a closed subspace $Y$ such that both $Y$ and the quotient $X/Y$ admit strictly convex norms, while $X$ does not. We also solve a problem about the property of mid-point locally uniform convexity (MLUR), showing that this does not imply LUR renormability.

研究动机与目标

• 确定对于树 $\Upsilon$，空间 $\C_0(\Upsilon)$ 存在等价LUR、严格凸及凯德斯范数的必要与充分条件。
• 通过构造一个巴拿赫空间 $X$，其子空间 $Y$ 与商空间 $X/Y$ 均可实现严格凸范数，但 $X$ 本身不可实现，从而解决严格凸重赋范的三空间问题。
• 研究中点局部一致凸性（MLUR）与LUR重赋范性之间的关系，证明MLUR并不蕴含LUR重赋范性。
• 证明有限分支的树可产生凯德斯重赋范空间，即使严格凸重赋范不可行。
• 提供反例以阐明非可分与非自反巴拿赫空间中重赋范性质的边界。

提出的方法

• 本文利用树 $\Upsilon$ 的结构分析空间 $\C_0(\Upsilon)$ 的拓扑性质，尤其关注树的序关系与分支特性。
• 应用重赋范理论中的技术，包括通过超限归纳法构造等价范数及基于树的度量。
• 作者定义并分析特定的树类，尤其是有限分支树，以确定哪些树可实现LUR、严格凸或凯德斯重赋范。
• 构造特殊的树例作为反例，尤其用于三空间问题及MLUR与LUR蕴含关系的检验。
• 分析依赖于树的拓扑与序理论性质，以控制单位球面与支持泛函的行为。
• 利用树的秩与分支度概念，推导出某些重赋范性质可能或不可能成立的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些树 $\Upsilon$，空间 $\C_0(\Upsilon)$ 可实现等价LUR范数？
• RQ2 每个凯德斯重赋范空间是否都可实现严格凸重赋范？是否存在一个空间是凯德斯但不可严格凸化？
• RQ3 一个巴拿赫空间 $X$，其子空间 $Y$ 与商空间 $X/Y$ 均可严格凸化，是否可能本身不可严格凸化？
• RQ4 中点局部一致凸性（MLUR）是否蕴含存在等价LUR范数？
• RQ5 树 $\Upsilon$ 的哪些结构性质可确保 $\C_0(\Upsilon)$ 可实现凯德斯重赋范？

主要发现

• 对于任意有限分支的树 $\Upsilon$，空间 $\C_0(\Upsilon)$ 可实现凯德斯重赋范。
• 存在一个巴拿赫空间，其可实现凯德斯重赋范但不可严格凸化，证明凯德斯重赋范性并不蕴含严格凸性。
• 严格凸重赋范的三空间问题有否定解：存在一个空间 $X$，其子空间 $Y$ 与商空间 $X/Y$ 均可严格凸化，但 $X$ 本身不可。
• 中点局部一致凸性（MLUR）并不蕴含存在等价LUR范数。
• 对于有限分支的树，空间 $\C_0(\Upsilon)$ 可能实现凯德斯重赋范，即使无法实现严格凸重赋范。
• 本文构造了明确的反例，阐明了巴拿赫空间理论中关键重赋范性质之间的逻辑独立性。