[论文解读] Trees in Wavelet analysis on Vilenkin groups

С. Ф. Лукомский|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2013

advanced mathematical theories参考文献 3被引用 6

一句话总结

该论文证明了：在p进Vilenkin群上，一个(1,M)-初等阶梯函数生成正交多分辨率分析（MRA）的充要条件是，该函数由以{0,1,…,p−1}为顶点集、0为根的有根树构造而成。作者提供了一种构造性算法，可从任意此类树生成可 refinable 函数与正交小波，从而将Vilenkin群上的小波理论与组合树结构联系起来。

ABSTRACT

We consider a class of $(1,M)$-elementary step functions on the $p$-adic Vilenkin group. We prove that $(1,M)$-elementary step function generates a MRA on $p$-adic Vilenkin group iff it is generated by a rooted tree on the set of vertices $\{0,1,\dots p-1\}$ with 0 as a root. Bibliography: 14 titles.

研究动机与目标

• 表征(1,M)-初等阶梯函数在p进Vilenkin群上生成正交多分辨率分析（MRA）的必要与充分条件。
• 建立以{0,1,…,p−1}为顶点集、根为0的有根树与生成正交MRA的可refinable函数之间的一一对应关系。
• 开发一种从给定有根树结构构造正交小波的算法。
• 阐明在零维群背景下，可refinable函数的傅里叶变换的支撑结构。
• 在先前对谱支撑假设（特别是单位球B₀(0)之外）的基础上，推广Vilenkin群上的小波构造。

提出的方法

• 将(1,M)-初等集定义为：对应于以0为根的有根树T(V)中路径的对偶群陪集的并集。
• 构造一个可refinable阶梯函数φ，使其傅里叶变换的支撑等于由有根树生成的(1,M)-初等集。
• 利用树的结构，通过由树的邻接关系导出的酉矩阵，定义掩码函数m₀(χ)。
• 利用树的分支结构导出的系数，将小波函数ψₗ(x)表示为φ的缩放和平移副本的线性组合。
• 通过验证掩码函数在傅里叶变换支撑上满足必要的正交性与消失矩条件，来验证小波系统的正交性。
• 利用群G与其特征群X之间的对偶性，结合零维群上的哈尔测度与傅里叶分析，推导出小波构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，(1,M)-初等阶梯函数会在p进Vilenkin群上生成正交MRA？
• RQ2 可refinable函数的傅里叶变换支撑结构与顶点集{0,1,…,p−1}上的组合树结构有何关联？
• RQ3 是否每一个以{0,1,…,p−1}为顶点集、根为0的有根树都可用于构造生成正交MRA的可refinable函数？
• RQ4 如何从给定顶点集上的有根树结构，显式构造正交小波？
• RQ5 由树导出的小波系统如何在L₂(𝔾)中保证正交性与完备性？

主要发现

• 当且仅当由以{0,1,…,p−1}为顶点集、0为根的有根树构造时，(1,M)-初等阶梯函数才会在p进Vilenkin群上生成正交多分辨率分析（MRA）。
• 可refinable函数φ的傅里叶变换的支撑是一个(1,M)-初等集，该集合恰好对应于从根0出发的所有路径所索引的特征集。
• 对于任意有根树T(V)，可显式构造一个可refinable函数φ，使得其平移构成V₀的正交基。
• 小波函数ψₗ(x)通过φ的缩放和平移副本的线性组合定义，其系数由树的分支结构导出。
• 系统{ψₗ(𝒜ⁿx − h) | l = 1,…,p−1, n ∈ ℤ, h ∈ H₀}构成L₂(𝔾)的完备正交基，证明了该小波系统为Parseval框架。
• 该构造确保掩码函数mₗ(χ)满足：在X₀上|m₀(χ)| = 1，且在傅里叶变换支撑上ℓ ≠ 0时有mₗ(χ) = 0，从而保证了小波系统的正交性。