[论文解读] Trees over Infinite Structures and Path Logics with Synchronization

Alex Spelten, Wolfgang Thomas+1 more|Nov 14, 2011

Formal Methods in Verification被引用 4

一句话总结

本文在底层逻辑满足温和假设的前提下，建立了弱树迭代的无限关系结构（附等高关系）的链逻辑理论的可判定性。研究显示，当通过可判定逻辑允许对兄弟节点进行量化时，模型检测仍保持可判定性；但当扩展至强树迭代时，即使是对二叉树等简单结构，也会导致不可判定性。

ABSTRACT

We provide decidability and undecidability results on the model-checking problem for infinite tree structures. These tree structures are built from sequences of elements of infinite relational structures. More precisely, we deal with the tree iteration of a relational structure M in the sense of Shelah-Stupp. In contrast to classical results where model-checking is shown decidable for MSO-logic, we show decidability of the tree model-checking problem for logics that allow only path quantifiers and chain quantifiers (where chains are subsets of paths), as they appear in branching time logics; however, at the same time the tree is enriched by the equal-level relation (which holds between vertices u, v if they are on the same tree level). We separate cleanly the tree logic from the logic used for expressing properties of the underlying structure M. We illustrate the scope of the decidability results by showing that two slight extensions of the framework lead to undecidability. In particular, this applies to the (stronger) tree iteration in the sense of Muchnik-Walukiewicz.

研究动机与目标

• 研究由无限关系结构构建的无限树结构的模型检测问题。
• 确定在弱树迭代中，通过等高关系实现同步的路径逻辑的可判定性是否成立。
• 将树路径的逻辑与底层结构属性的逻辑分离开来。
• 通过展示在更强框架（如强树迭代）中存在不可判定性，识别出一般化边界的限制。
• 通过引入基于可判定基逻辑的兄弟节点量化，将先前关于链逻辑和无限字母表的结果加以扩展。

提出的方法

• 本文构建了无限关系结构 $\mathcal{M}$ 的弱树迭代 $\mathcal{M}^\#$，其中节点为 $M^*$ 中的序列，边由前缀扩展定义。
• 它通过等高关系 $E$ 对 $\mathcal{M}^\#$ 进行扩充，该关系在相同深度的节点之间成立，从而实现跨层级的同步。
• 它引入了一个在 $\mathcal{M}$ 上定义的逻辑 $\mathcal{L}$，其理论是可判定的，并允许使用 $\mathcal{L}$-公式对兄弟节点（具有共同父节点的子节点）进行量化。
• 它在 $\mathcal{M}^\#_E$ 上定义了一种链逻辑理论，该理论结合了路径量词（用于链）与限制在兄弟集合上的 $\mathcal{L}$-量词。
• 它使用可定义编码技术，通过在固定层级上的反链上的量化来模拟树中有限集合上的存在量词，从而将问题约化为层级上的第一阶逻辑。
• 它通过将二叉树的弱 MSO 理论（带 $E$）约化到 $\mathcal{M}^*_E$ 的链逻辑理论，证明了强树迭代 $\mathcal{M}^*$ 的不可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当底层逻辑 $\mathcal{L}$ 在 $\mathcal{M}$ 上可判定时，弱树迭代 $\mathcal{M}^\#_E$ 的链逻辑理论是否可判定？
• RQ2 是否可以将通过可判定逻辑 $\mathcal{L}$ 实现的兄弟节点量化整合进 $\mathcal{M}^\#_E$ 上的链逻辑框架中，同时保持可判定性？
• RQ3 该可判定性结果是否能推广到强树迭代 $\mathcal{M}^*_E$，如同在经典情形下 MSO 所示？
• RQ4 等高关系 $E$ 在实现同步中的作用及其对可判定性的影响是什么？
• RQ5 该框架能否推广至使用 $\mathcal{M}$-值输入和 $\mathcal{L}$-公式作为转移条件的无限字母表上的自动机？

主要发现

• 若 $\mathcal{M}$ 的 $\mathcal{L}$-理论可判定，则 $\mathcal{M}^\#_E$ 的链逻辑理论是可判定的，即使对任意节点的兄弟节点允许使用 $\mathcal{L}$-量词。
• 该可判定性结果在 $\mathcal{L}$ 的温和假设下成立，包括一阶逻辑、弱二阶逻辑和传递闭包逻辑。
• 等高关系 $E$ 实现了树层级间的同步，是建模具有协调性的路径属性的关键。
• 本文通过证明当 $\mathcal{M}$ 为二叉后继结构时，$\mathcal{M}^*_E$ 的链逻辑理论不可判定，表明强迭代破坏了可判定性。
• 不可判定性通过将层级 $L$ 之前的有限节点集合编码为层级 $L$ 上的反链来证明，从而将二叉树带 $E$ 的弱 MSO 理论约化为链逻辑理论。
• 该框架支持无限字母表上广义 Büchi 自动机的概念，若 $\mathcal{M}$ 的 $\mathcal{L}$-理论可判定，则其非空性可判定。