[论文解读] Treewidth of display graphs: bounds, brambles and applications

Remie Janssen, Mark Jones+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

Plant and animal studies参考文献 36被引用 3

一句话总结

本文研究由无根二叉物种发育树与网络构成的显示图的分支宽，证明该问题在一般情况下为NP难，但在分支宽有界时可在线性时间内求解。本文建立了当网络 $N$ 显示树 $T$ 时，显示图的分支宽的紧致上界 $2\text{tw}(N)+1$，并基于此结果，设计了以分支宽为参数的固定参数可追踪（FPT）算法，用于解决网络-显示问题。

ABSTRACT

Phylogenetic trees and networks are leaf-labelled graphs used to model evolution. Display graphs are created by identifying common leaf labels in two or more phylogenetic trees or networks. The treewidth of such graphs is bounded as a function of many common dissimilarity measures between phylogenetic trees and this has been leveraged in fixed parameter tractability results. Here we further elucidate the properties of display graphs and their interaction with treewidth. We show that it is NP-hard to recognize display graphs, but that display graphs of bounded treewidth can be recognized in linear time. Next we show that if a phylogenetic network displays (i.e. topologically embeds) a phylogenetic tree, the treewidth of their display graph is bounded by a function of the treewidth of the original network (and also by various other parameters). In fact, using a bramble argument we show that this treewidth bound is sharp up to an additive term of 1. We leverage this bound to give an FPT algorithm, parameterized by treewidth, for determining whether a network displays a tree, which is an intensively-studied problem in the field. We conclude with a discussion on the future use of display graphs and treewidth in phylogenetics.

研究动机与目标

• 研究由物种发育树与网络构成的显示图的结构与算法性质。
• 解决先前工作中提出的关于识别显示图的开放问题。
• 建立当物种发育网络 $N$ 显示一棵树 $T$ 时，显示图的紧致分支宽界限。
• 基于分支宽作为参数，为网络-显示问题开发固定参数可追踪（FPT）算法。
• 探索显示图与分支宽在物种发育推断与算法设计中的更广泛应用。

提出的方法

• 通过将问题归约至 TreeArboricity 问题，证明显示图识别问题为 NP 难。
• 利用 Courcelle 定理，通过在单元二阶逻辑（MSOL）中表达该性质，证明在分支宽有界的图上，显示图识别可在时间复杂度为线性的时间内求解。
• 引入基于 bramble 的论证方法，证明当网络 $N$ 显示树 $T$ 时，其显示图的分支宽界限 $2\text{tw}(N)+1$ 至多相差一个常数，是紧致的。
• 设计一个 MSOL 公式，用于表达网络 $N$ 通过边删除方式显示树 $T$ 的条件，使用连通性、无环性与四元组相容性等谓词。
• 利用分支宽界限，设计了以分支宽为参数的 FPT 算法，用于解决网络-显示问题。
• 提供了基于网络层级与网罗数的替代分支宽界限，使结果对物种发育学家更具可及性。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定一个立方图，判断其是否为压缩后的显示图的问题是否为 NP 难？
• RQ2 有界分支宽的显示图是否可在线性时间内识别？
• RQ3 当物种发育网络 $N$ 显示一棵树 $T$ 时，其显示图的分支宽的最紧致上界是什么？
• RQ4 能否利用显示图的分支宽界限，设计出用于判断网络是否显示给定树的 FPT 算法？
• RQ5 网络层级与网罗数等参数与最终显示图的分支宽之间有何关系？

主要发现

• 判断给定立方图是否为压缩后的显示图的问题是 NP 难的。
• 当分支宽有界时，可利用 Courcelle 定理与 MSOL 公式，在线性时间内求解显示图识别问题。
• 若物种发育网络 $N$ 显示树 $T$，则其显示图的分支宽至多为 $2\text{tw}(N)+1$，且该界限至多相差一个常数 1，是紧致的。
• 提供了基于网络层级与网罗数的替代分支宽界限，这些参数对物种发育学家更为熟悉。
• 基于已建立的分支宽界限，开发了以分支宽为参数的 FPT 算法，用于解决网络-显示问题。
• 用于表达网络中树显示关系的 MSOL 公式，使用了连通性、无环性与四元组相容性等谓词，且其长度为固定值，不随输入规模变化。