[论文解读] Trefftz discontinuous Galerkin methods on unstructured meshes for the wave equation

Andrea Moiola|arXiv (Cornell University)|May 1, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出了一种适用于非结构化网格且面朝向任意的波方程的空间-时间 Trefftz 不连续伽辽金方法。该方法证明了适定性、稳定性以及在 DG 和 $L^2$ 范数下的最优先验误差界，通过满足每个单元内波方程的 Trefftz 基函数提升了收敛速率，实现了高阶精度，并通过半显式格式实现了高效的局部求解。

ABSTRACT

We describe and analyse a space-time Trefftz discontinuous Galerkin method for the wave equation. The method is defined for unstructured meshes whose internal faces need not be aligned to the space-time axes. We show that the scheme is well-posed and dissipative, and we prove a priori error bounds for general Trefftz discrete spaces. A concrete discretisation can be obtained using piecewise polynomials that satisfy the wave equation elementwise.

研究动机与目标

• 开发一种在空间-时间非对齐面的非结构化网格上稳定且收敛的空间-时间不连续伽辽金方法，用于波方程。
• 将现有的 Trefftz DG 方法扩展至更高维度和更一般的网格，包括具有空间型和时间型面的网格。
• 为一般 Trefftz 离散空间证明在 DG 和 $L^2$ 范数下的先验误差界。
• 证明该方法可通过帐篷穿刺算法实现为半显式格式，从而实现局部、顺序的求解更新。

提出的方法

• 该方法采用波方程的一阶系统形式，变量为 $v$（位移的时间导数）和 ${\boldsymbol{\sigma}}$（位移的梯度）。
• 定义了一个 Trefftz 离散空间 $\mathbf{V}(\mathcal{T}_h)$，使得其中所有函数在每个单元 $K \in \mathcal{T}_h$ 内局部满足波方程。
• 弱形式采用网格面上的数值通量，通过在狄利克雷、诺伊曼和罗宾边界上的罚项实现稳定化。
• 通过能量估计和对偶论证，证明该格式是适定且耗散的，从而保证了稳定性和收敛性。
• 对于满足空间型面条件的一类网格，该方法可通过帐篷穿刺算法实现半显式、逐单元求解策略。
• 通过形如 $P_{\ell,j}({\mathbf{x}},t) = ({\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{d}}_j - ct)^\ell$ 的多项式波构造多项式 Trefftz 空间，确保波方程在局部被满足。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有任意面朝向的非结构化空间-时间网格上的波方程，形式化并分析一种 Trefftz 不连续伽辽金方法？
• RQ2 在一般网格条件下（包括空间型和时间型面），所提出的 Trefftz-DG 格式是否适定且稳定？
• RQ3 对于一般 Trefftz 离散空间，可在 DG 和 $L^2$ 范数下导出何种先验误差界？
• RQ4 在何种网格条件下，Trefftz-DG 方法可作为半显式格式，实现局部、顺序的更新？
• RQ5 Trefftz-DG 方法的收敛速率与标准 DG 方法相比，在自由度和多项式阶数方面有何差异？

主要发现

• 该 Trefftz-DG 方法对任意 Trefftz 离散空间均为适定且耗散的，稳定性通过能量和对偶论证得到证明。
• 在 DG 范数下建立了先验误差界，其界依赖于 Trefftz 空间的逼近性质和网格的正则性。
• 对于仅含空间型内部面的网格（例如通过帐篷穿刺算法构造的网格），该方法可实现半显式、可局部计算的格式，支持逐单元顺序求解更新。
• 在足够条件下，$L^2$ 范数下的误差被有界为数据和残差的 $L^2$ 范数的常数倍，该条件在帐篷穿刺网格上已验证。
• 次数为 $p$ 的多项式 Trefftz 空间维数为 $\mathcal{O}(p^n)$，远低于全多项式空间的 $\mathcal{O}(p^{n+1})$，从而显著提升了效率。
• 对于解析解，预期在 $p$ 上呈指数收敛；当 $n=1$ 时，已证明在 $h_K$ 和 $p$ 上达到最优代数收敛速率，且效率高于标准 DG 方法。