[论文解读] Trellis Decoding For Qudit Stabilizer Codes And Its Application To Qubit Topological Codes

Eric Sabo, Arun B. Aloshious+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文提出了一种高效且可扩展的任意素数维 qudit 稳定子码的网格译码框架，将 Ollivier 和 Tillich 于 2006 年提出的量子比特网格译码方法推广至任意素数维 qudit。通过离线构建码的正规化子 $S^{\bot}$ 的紧凑图形表示，并利用维特比算法进行在线校验子译码，该方法在颜色码中实现了 20% 的码容量阈值提升，性能优于传统映射至表面码的方法，同时凸显了网格边数作为译码复杂度的关键指标。

ABSTRACT

Trellis decoders are a general decoding technique first applied to qubit-based quantum error correction codes by Ollivier and Tillich in 2006. Here we improve the scalability and practicality of their theory, show that it has strong structure, extend the results using classical coding theory as a guide, and demonstrate a canonical form from which the structural properties of the decoding graph may be computed. The resulting formalism is valid for any prime-dimensional quantum system. The modified decoder works for any stabilizer code $S$ and separates into two parts: a one-time, offline computation which builds a compact, graphical representation of the normalizer of the code, $S^\perp$, and a quick, parallel, online query of the resulting vertices using the Viterbi algorithm. We show the utility of trellis decoding by applying it to four high-density, length 20 stabilizer codes for depolarizing noise and the well-studied Steane, rotated surface, and 4.8.8/6.6.6 color codes for $Z$-only noise. Numerical simulations demonstrate a 20\% improvement in the code-capacity threshold for color codes with boundaries by avoiding the mapping from color codes to surface codes. We identify trellis edge number as a key metric of difficulty of decoding, allowing us to quantify the advantage of single-axis decoding for Calderbank-Steane-Shor codes and block-decoding for concatenated codes.

研究动机与目标

• 开发一种超越量子比特系统的、可扩展且实用的 qudit 稳定子码网格译码框架。
• 基于经典编码理论作为指导，将 Ollivier 和 Tillich 于 2006 年提出的量子比特网格译码方法推广至素数维 qudit。
• 证明网格译码可优于标准映射（如颜色码到表面码）的方法，避免结构上的妥协。
• 识别并量化控制译码难度与性能的关键指标，如网格边数。
• 建立网格的规范形式，以系统化计算译码图的结构属性。

提出的方法

• 通过一次性的离线计算，构建稳定子码 $S$ 的正规化子 $S^{\bot}$ 的紧凑图形表示。
• 利用维特比算法通过寻找对应于测量校验子的最小权重路径，实现高效且并行的在线译码。
• 利用代数结构和陪集分解，最小化计算开销并提升可扩展性。
• 将该形式化方法应用于非 CSS 和 CSS 稳定子码，包括 Steane、表面码和颜色码等拓扑码。
• 通过数值模拟，在比特翻转和 $Z$-仅噪声模型下比较阈值性能。
• 引入网格边数作为量化指标，以评估译码复杂度并比较不同译码策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持计算可行性的同时，将网格译码从量子比特推广至任意素数维 qudit？
• RQ2 网格正规化子 $S^{\bot}$ 的结构如何在多种稳定子码中实现高效且可扩展的译码？
• RQ3 与标准映射（如颜色码到表面码）相比，网格译码在码容量阈值方面有何性能优势？
• RQ4 网格边数与译码难度及纠错性能之间有何关联？
• RQ5 该网格框架能否用于量化串联码中单轴或分块译码策略的优势？

主要发现

• 在具有边界的颜色码中，网格译码将码容量阈值提升了 20%，优于标准映射至表面码的方法。
• 该方法在比特翻转和 $Z$-仅噪声模型下表现出与最先进译码器相当的性能。
• 网格边数被确定为译码复杂度的关键指标，可实现对不同译码策略的定量比较。
• 由于基于路径的校验子一致性，即使在码的最小距离非最优时，译码器仍能纠正大部分给定权重的可纠正错误。
• 该框架为颜色码提供了原生译码器，无需投影、限制或拓扑映射。
• 离线构建的网格正规化子 $S^{\bot}$ 使得可通过维特比算法实现高效的在线译码，运行时间可预测地随码参数增长。