[论文解读] Triangle counting in dynamic graph streams

Laurent Bulteau, Vincent Froese+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 24被引用 18

一句话总结

本文提出了一种新颖的基于采样的算法，用于在动态图流中估计三角形数量，其中边可被插入和删除。通过结合顶点三元组采样与图稀疏化，该方法在具有恒定传递系数的图中实现了每个边更新的恒定处理时间——这是该类别中的首个此类算法，相较于先前工作，其空间和时间复杂度均有改进。

ABSTRACT

Estimating the number of triangles in graph streams using a limited amount of memory has become a popular topic in the last decade. Different variations of the problem have been studied, depending on whether the graph edges are provided in an arbitrary order or as incidence lists. However, with a few exceptions, the algorithms have considered {\em insert-only} streams. We present a new algorithm estimating the number of triangles in {\em dynamic} graph streams where edges can be both inserted and deleted. We show that our algorithm achieves better time and space complexity than previous solutions for various graph classes, for example sparse graphs with a relatively small number of triangles. Also, for graphs with constant transitivity coefficient, a common situation in real graphs, this is the first algorithm achieving constant processing time per edge. The result is achieved by a novel approach combining sampling of vertex triples and sparsification of the input graph. In the course of the analysis of the algorithm we present a lower bound on the number of pairwise independent 2-paths in general graphs which might be of independent interest. At the end of the paper we discuss lower bounds on the space complexity of triangle counting algorithms that make no assumptions on the structure of the graph.

研究动机与目标

• 解决动态图流中高效三角形计数的开放问题，其中边可被插入和删除。
• 设计一种流算法，以保持低空间和时间复杂度，尤其适用于三角形密度较低至中等的真实世界图。
• 实现具有恒定传递系数的图中每个边更新的恒定处理时间，这是真实网络中的常见特性。
• 建立动态流中三角形计数的理论空间复杂度下界，且独立于图结构。

提出的方法

• 该算法使用顶点三元组的均匀采样来估计三角形数量，并将该方法适应于边可能被删除的动态流环境。
• 它应用了一种新颖的稀疏化技术，在保持采样下三角形估计准确性的前提下减小图的规模。
• 该方法维护一个紧凑的图略图，支持高效插入和删除边，且最小化重新计算。
• 理论分析结合了两两独立的2-路径计数与概率采样，以界定估计误差。
• 通过从通信复杂性中的单向索引问题约化，推导出下界，表明为区分无三角形图与含T₃个三角形的图，空间至少需要Ω(m³/T₃²)比特。
• 该算法在公开可用的数据集上的真实世界图上进行了评估，比较了不同方法在空间和时间复杂度上的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 流算法能否在动态图流中实现每个边更新的恒定处理时间用于三角形计数？
• RQ2 动态流中三角形计数的最优空间复杂度是多少？它如何依赖于图结构？
• RQ3 基于采样的方法能否可靠地适应边被删除的动态环境？
• RQ4 传递系数如何影响真实世界图中三角形计数的效率？
• RQ5 在不依赖图结构的前提下，动态流中三角形计数的空间使用的基本限制是什么？

主要发现

• 所提出的算法在具有恒定传递系数的图中实现了每个边更新的恒定处理时间，这是对先前方法的关键性改进。
• 对于真实世界图如Facebook、DBLP和Astro-Ph，该算法的空间使用量显著低于先前方法，在表4的13个数据集中有7个达到最低空间使用量。
• 该算法在最坏情况下的空间复杂度为O(mn/T₃)，但当传递系数为常数时性能大幅提升，达到近似最优。
• 动态流中单遍三角形计数的理论下界Ω(m³/T₃²)比特与某些图类的上界匹配，表明该下界是紧致的。
• 对于稀疏图且三角形数量相对较少的情况，该算法在空间和时间复杂度上均优于现有方法，尤其当T₃相对于m较大时。
• 分析表明，对图结构的假设——尤其是传递性——对于实现高效的三角形计数至关重要，因为在一般情况下，若无此类假设则不存在高效算法。