[论文解读] Triangle Estimation using Polylogarithmic Queries.

Anup Bhattacharya, Arijit Bishnu+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Data Management and Algorithms参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文提出了首个仅使用多对数查询的近似三角形计数算法，通过引入一种新颖的三部独立集（TIS）查询预言机，该预言机可检查三个不相交顶点集之间的三角形。通过扩展Beame等人框架，并结合染色技术和Janson的集中不等式，该方法在图中实现了子线性查询复杂度，用于估计三角形数量。

ABSTRACT

Estimating the number of triangles in a graph is one of the most fundamental problems in sublinear algorithms. In this work, we provide the first approximate triangle counting algorithm using only polylogarithmic queries. Our query oracle Tripartite Independent Set (TIS) takes three disjoint sets of vertices $A$, $B$ and $C$ as input, and answers whether there exists a triangle having one endpoint in each of these three sets. Our query model is inspired by the Bipartite Independent Set (BIS) query oracle of Beame et al. (ITCS, 2018). Their algorithm for edge estimation requires only polylogarithmic BIS queries, where a BIS query takes two disjoint sets $A$ and $B$ as input and answers whether there is an edge with endpoints in $A$ and $B$. We extend the algorithmic framework of Beame et al., with TIS replacing BIS, for triangle counting using ideas from color coding due to Alon et al. (J. ACM, 1995) and a concentration inequality for sums of random variables with bounded dependency due to Janson (Rand. Struct. Alg., 2004).

研究动机与目标

• 在子线性算法背景下，开发一种具有子线性查询复杂度的近似三角形计数算法。
• 引入并形式化三部独立集（TIS）查询预言机，作为二部独立集（BIS）预言机的自然延伸。
• 实现三角形估计的多对数查询复杂度，与BIS模型下边数估计的效率相匹配。
• 将Alon等人（1995）的染色技术适配到TIS查询模型中，以实现有效的三角形采样。
• 应用Janson的集中不等式（适用于具有有界依赖性的和）以确保在高概率下估计的准确性。

提出的方法

• 该算法使用一种TIS查询预言机，给定三个不相交的顶点集A、B和C，判断是否存在一个三角形，其每个顶点分别属于这三个集合。
• 采用染色技术将顶点随机划分为颜色类，并通过着色中的单色三元组识别三角形。
• 该方法对顶点集进行随机三色着色，并使用TIS查询检测每个颜色类中各有一个顶点的三角形。
• 通过多次随机着色聚合估计结果，以降低方差并提高准确性。
• 应用Janson的集中不等式，以在采样过程中具有有界依赖性的情况下，限制估计的三角形数量与真实值之间的偏差。
• 通过将BIS查询替换为TIS查询，将Beame等人基于BIS的边估计方法框架扩展到三角形计数场景。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在图中仅使用多对数查询来近似三角形计数？
• RQ2 TIS查询模型是否足以实现高精度的子线性三角形估计？
• RQ3 如何将染色技术适配到TIS查询框架中，以实现三角形检测？
• RQ4 在基于采样的估计过程中，具有依赖性的随机变量之和适用何种浓度界限？
• RQ5 BIS-based框架能否推广以处理三角形计数中的三部查询？

主要发现

• 本文首次实现了使用TIS预言机的多对数查询复杂度近似三角形计数算法。
• 该方法利用染色技术，通过随机顶点着色高效采样潜在三角形。
• 使用Janson的集中不等式确保估计的三角形数量在高概率下紧密集中在真实值附近。
• 该框架成功将Beame等人基于BIS的方法扩展到三角形计数问题，实现了子线性复杂度。
• TIS预言机模型为高阶子图计数提供了自然且有效的BIS模型扩展。
• 该算法表明，仅使用多对数查询即可实现三角形估计，显著优于先前方法。