[论文解读] Triangle-free Subgraphs of Hypergraphs

Jiaxi Nie, Sam Spiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 25被引用 4

一句话总结

该论文建立了在最大度为 $\triangle$ 的 $r$-均匀超图中，最大无三角形子超图大小的下界，表明其至少为 $e(H)/\triangle^{(r-2)/(r-1)+o(1)}$。当 $r=3$ 时，该下界在 $o(1)$ 项范围内是紧的，且该结果可推广至随机超图，在此类图中，$T^3$-自由子超图的极值边数以高概率为 $\tilde{O}(p^{1/3}n^2)$。

ABSTRACT

In this paper, we consider an analog of the well-studied extremal problem for triangle-free subgraphs of graphs for uniform hypergraphs. A loose triangle is a hypergraph $T$ consisting of three edges $e,f$ and $g$ such that $|e \cap f| = |f \cap g| = |g \cap e| = 1$ and $e \cap f \cap g = \emptyset$. We prove that if $H$ is an $n$-vertex $r$-uniform hypergraph with maximum degree $ riangle$, then as $ riangle ightarrow \infty$, the number of edges in a densest $T$-free subhypergraph of $H$ is at least \[ \frac{e(H)}{ riangle^{\frac{r-2}{r-1} + o(1)}}.\] For $r = 3$, this is tight up to the $o(1)$ term in the exponent. We also show that if $H$ is a random $n$-vertex triple system with edge-probability $p$ such that $pn^3 ightarrow\infty$ as $n ightarrow\infty$, then with high probability as $n ightarrow \infty$, the number of edges in a densest $T$-free subhypergraph is \[ \min\Bigl\{(1-o(1))p{n\choose3},p^{\frac{1}{3}}n^{2-o(1)}\Bigr\}.\] We use the method of containers together with probabilistic methods and a connection to the extremal problem for arithmetic progressions of length three due to Ruzsa and Szemerédi.

研究动机与目标

• 将经典的无三角形图的图论极值问题推广至 $r$-均匀超图，重点研究松散三角形。
• 确定给定最大度有界的 $r$-图中，$T^r$-自由子超图的最大边数。
• 分析此类极值子超图在随机 $r$-均匀超图 $G_{n,p}^r$ 中的行为。
• 为 $r=3$ 情况建立紧致界，并探讨 $r\geq4$ 时界之间的差距。
• 通过 Ruzsa-Szemerédi 框架将极值问题与无三元等差数列集合联系起来。

提出的方法

• 使用超图容器方法来界定 $T^r$-自由子超图的数量。
• 应用概率方法分析随机 $r$-图 $G_{n,p}^r$ 中 $T^r$-自由子超图的期望数量。
• 利用无三元等差数列的集合与无三角形线性超图之间的 Ruzsa-Szemerédi 关联。
• 通过基于熵的计数和指数界，推导出具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的 $T^r$-自由 $r$-图的数量上界。
• 利用马尔可夫不等式证明，在 $G_{n,p}^r$ 中，以高概率不存在超过某一大小的 $T^r$-自由子超图。
• 通过平衡此类子超图的数量及其边概率，建立 $\mathrm{ex}(G_{n,p}^r, T^r)$ 的渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最大度为 $\triangle$ 的 $r$-均匀超图中，$T^r$-自由子超图的最大边数是多少？
• RQ2 在随机 $r$-图 $G_{n,p}^r$ 中，$T^3$-自由子超图的极值边数行为如何？
• RQ3 对于 $r \geq 4$，能否改进或收紧下界 $\mathrm{ex}(G, T^r) \geq e(G)/\triangle^{(r-2)/(r-1)+o(1)}$？
• RQ4 在一般情况下，极值函数 $\mathrm{ex}(G, T^r)$ 中关于 $\triangle$ 的正确指数是什么？
• RQ5 对于 $r \geq 4$，$G_{n,p}^r$ 中 $T^r$-自由子超图的极值边数如何随 $p$ 变化？

主要发现

• 对于任意最大度为 $\triangle$ 的 $r$-均匀超图 $G$，最大 $T^r$-自由子超图的大小满足 $\mathrm{ex}(G, T^r) \geq e(G)/\triangle^{(r-2)/(r-1)+o(1)}$，当 $\triangle \to \infty$ 时成立。
• 当 $r=3$ 时，该下界在指数的 $o(1)$ 项范围内是紧的，由基于团 $K_t^3$ 的构造所证实。
• 在随机 $3$-均匀超图 $G_{n,p}^3$ 中，以高概率有 $\mathrm{ex}(G_{n,p}^3, T^3) = \min\left\{(1-o(1))p\binom{n}{3}, p^{1/3}n^{2-o(1)}\right\}$。
• 对于 $r \geq 4$，目前已知的最佳下界为 $\mathrm{ex}(G, T^r) = \Omega(\triangle^{-1/2}) \cdot e(G)$，但真实指数仍未知。
• 对于 $m = n^{3-\delta}$，$n$ 个顶点和 $m$ 条边的 $T^r$-自由 $r$-图的数量被限制为 $\left(\frac{n^{r-1}}{m}\right)^{(1+o(1))m}$，从而支持极值界。
• 当 $p = n^{-r+x}$ 且 $0 \leq x \leq r$ 时，$G_{n,p}^r$ 中 $T^r$-自由子超图的期望极值边数满足 $f_r(x) = \lim_{n\to\infty} \log_n \mathbb{E}[\mathrm{ex}(G_{n,p}^r, T^r)]$，其中当 $x \leq 3/2$ 时 $f_r(x) = x$，当 $x > 4$ 时 $f_r(x) = x-1$，中间区域存在相应界。