[论文解读] Triangle packing in (sparse) tournaments: approximation and kernelization

Stéphane Bessy, Marin Bougeret+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文研究稀疏竞赛图中的三角形打包问题，证明除非 P = NP，否则该问题不存在 PTAS，并为后向边长度至少为 $c$ 的竞赛图设计了一个 $(1 + \frac{6}{c-1})$-近似算法。本文建立了基于反馈弧集大小 $m$ 的 $\mathcal{O}(m)$ 顶点核，并证明除非 NP ⊆ coNP/Poly，否则不存在大小为 $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ 的核，从而将 $\mathcal{O}(k)$ 核作为开放挑战留下。

ABSTRACT

Given a tournament T and a positive integer k, the C_3-Pakcing-T problem asks if there exists a least k (vertex-)disjoint directed 3-cycles in T. This is the dual problem in tournaments of the classical minimal feedback vertex set problem. Surprisingly C_3-Pakcing-T did not receive a lot of attention in the literature. We show that it does not admit a PTAS unless P=NP, even if we restrict the considered instances to sparse tournaments, that is tournaments with a feedback arc set (FAS) being a matching. Focusing on sparse tournaments we provide a (1+6/(c-1)) approximation algorithm for sparse tournaments having a linear representation where all the backward arcs have "length" at least c. Concerning kernelization, we show that C_3-Pakcing-T admits a kernel with O(m) vertices, where m is the size of a given feedback arc set. In particular, we derive a O(k) vertices kernel for C_3-Pakcing-T when restricted to sparse instances. On the negative size, we show that C_3-Pakcing-T does not admit a kernel of (total bit) size O(k^{2-ε}) unless NP is a subset of coNP / Poly. The existence of a kernel in O(k) vertices for C_3-Pakcing-T remains an open question.

研究动机与目标

• 分析竞赛图中三角形打包问题（C3-Packing-T）的近似可解性与核化复杂度。
• 建立强下界近似结果，证明即使在反馈弧集为匹配的稀疏竞赛图中，也不存在 PTAS。
• 为后向边长度至少为 $c$ 的竞赛图设计一个 $(1 + \frac{6}{c-1})$-近似算法。
• 基于反馈弧集大小 $m$ 提供一个 $\mathcal{O}(m)$ 的顶点核，并为稀疏实例提供一个 $\mathcal{O}(k)$ 的核。
• 证明除非 NP ⊆ coNP/Poly，否则不存在大小为 $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ 的核，从而凸显一般实例中 $\mathcal{O}(k)$ 核的开放性问题。

提出的方法

• 通过从一个困难问题的约化证明近似下界，表明即使在反馈弧集为匹配的稀疏竞赛图中，也不存在 PTAS。
• 基于线性排序与后向边长度 $c$ 的结构分解，设计一个 $(1 + \frac{6}{c-1})$-近似算法。
• 通过大小为 $m$ 的反馈弧集 $F$ 对竞赛图进行约化，构造大小为 $\mathcal{O}(m)$ 的核，同时保持解的等价性。
• 利用弱组合定理证明，除非 NP ⊆ coNP/Poly，否则大小为 $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ 的核不可能存在。
• 应用完美打包组合框架，通过组合 $t$ 个实例构造单个竞赛图，利用 $g = \sqrt{t}$ 及结构化组件如 $P_{(n,g)}$、$M_G$、$K_q$ 等。
• 利用结构化命题（如命题 7）证明：在组合实例中存在完美打包，当且仅当在某个基础实例中存在完美打包，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 C3-Packing-T 在稀疏竞赛图中是否允许存在 PTAS，即使反馈弧集为匹配？
• RQ2 能否为后向边长度至少为 $c$ 的竞赛图设计一个 $(1 + \frac{6}{c-1})$-近似算法？
• RQ3 C3-Packing-T 在一般竞赛图中是否存在大小为 $\mathcal{O}(k)$ 的核，还是 $\mathcal{O}(k)$ 核不可实现？
• RQ4 C3-Packing-T 的最紧核大小是多少？是否存在大小为 $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ 的核，除非 NP ⊆ coNP/Poly？
• RQ5 核化与近似方法能否统一，从而在稀疏竞赛图中获得优于 4/3 的近似比？

主要发现

• 除非 P = NP，否则 C3-Packing-T 在稀疏竞赛图中不存在 PTAS，即使反馈弧集为匹配。
• 为后向边长度至少为 $c$ 的竞赛图提供了 $(1 + \frac{6}{c-1})$-近似算法，且随着 $c$ 增大而改进。
• 基于反馈弧集大小 $m$ 构造了 $\mathcal{O}(m)$ 的顶点核，并为稀疏实例推导出 $\mathcal{O}(k)$ 的核。
• 除非 NP ⊆ coNP/Poly，否则 C3-Packing-T 不存在大小为 $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ 的核，从而建立了强下界。
• 一般 C3-Packing-T 中 $\mathcal{O}(k)$ 顶点核的存在性仍是开放问题。
• 组合实例的构造证明了：在整个竞赛图中存在完美打包，当且仅当在某个基础实例 $\mathcal{I}_{(p_0,q_0)}$ 中存在完美打包，从而支持了核大小的下界证明。