[论文解读] Triangle Tiling I: The tile is similar to ABC or has a right angle

Michael Beeson|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文完整刻画了当三角形 ABC 可被 N 个全等的瓷砖 T 镶嵌时的条件，重点研究 T 与 ABC 相似或为直角三角形的情形。通过线性代数、域论和初等几何方法，证明当 T 与 ABC 相似且 ABC 不是直角三角形或 30-60-90 三角形时，N 必须是完全平方数；当 ABC 为 30-60-90 三角形时，N 也可以是平方数的三倍。当 T 为直角三角形时，N 必须是平方数的两倍或六倍，若 T 与 ABC 相似，则 N 还可以是两个平方数之和。

ABSTRACT

An N -tiling of triangle ABC by triangle T is a way of writing ABC as a union of N triangles congruent to T, overlapping only at their boundaries. The triangle T is the "tile'". The tile may or may not be similar to ABC . This paper is the first of several papers, which together seek a complete characterization of the triples (ABC,N,T) such that ABC can be N -tiled by T . In this paper, we consider the case in which the tile is similar to ABC, the case in which the tile is a right triangle, and the case when ABC is equilateral. We use (only) techniques from linear algebra and elementary field theory, as well as elementary geometry and trigonometry. Our results (in this paper) are as follows: When the tile is similar to ABC, we always have "quadratic tilings'" when N is a square. If the tile is similar to ABC and is not a right triangle, then N is a square. If N is a sum of two squares, N = e^2 + f^2, then a right triangle with legs e and f can be N -tiled by a tile similar to ABC ; these tilings are called "biquadratic". If the tile and ABC are 30-60-90 triangles, then N can also be three times a square. If T is similar to ABC, these are all the possible triples (ABC, T, N) . If the tile is a right triangle, of course it can tile a certain isosceles triangle when N is twice a square, and in some cases when N is six times a square. Equilateral triangles can be 3-tiled and 6-tiled and hence they can also be 3n^2 and 6n^2 tiled for any n . We also discovered a family of tilings when N is 3 times a square, which we call the "hexagonal tilings." These tilings exhaust all the possible triples (ABC, T, N) in case T is a right triangle or is similar to ABC . Other cases are treated in subsequent papers.

研究动机与目标

• 完整分类所有满足三角形 ABC 可被全等瓷砖 T 镶嵌为 N 份的三元组 (ABC, N, T)。
• 确定当 T 与 ABC 相似或为直角三角形时，此类镶嵌存在的精确 N 值。
• 确立在这些条件下，只有特定形式的 N（如平方数、两平方数之和或平方数的倍数）是可能的。
• 通过严格的代数与几何分析，排除所有其他 N 值，仅使用初等方法。

提出的方法

• 使用线性代数与初等域论分析镶嵌约束，推导出对 N 的必要条件。
• 应用三角恒等式与几何分解技术，为多种 N 值构造显式镶嵌。
• 通过平行线将 ABC 分割为 n² 个更小的相似三角形，引入“二次镶嵌”概念。
• 当 N = e² + f² 时，定义“双二次镶嵌”，利用两条直角边分别为 e 和 f 的两个直角子镶嵌。
• 当 ABC 与 T 均为 30-60-90 三角形且 N = 3m² 时，引入“六边形镶嵌”。
• 采用子镶嵌与复合/素镶嵌的概念，递归且全面地对镶嵌进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 ABC 不是直角三角形或 30-60-90 三角形时，哪些 N 值可使三角形 ABC 被与之相似的瓷砖 T 镶嵌为 N 份？
• RQ2 当 T 为直角三角形且 ABC 不是等边三角形时，N 的可能取值是什么？
• RQ3 当 T 与 ABC 相似且 ABC 为直角三角形（其中一个锐角的正切值为有理数）时，N 是否可以表示为两个平方数之和？
• RQ4 能否用非相似的直角三角形对等边三角形进行镶嵌？若可以，对应哪些 N 值？
• RQ5 当 T 为直角三角形或与 ABC 相似时，所有满足 N-tiling 存在的三元组 (ABC, N, T) 的完整集合是什么？

主要发现

• 若 T 与 ABC 相似且 ABC 不是直角三角形或 30-60-90 三角形，则 N 必须是完全平方数。
• 若 T 为直角三角形且 ABC 不是等边三角形，则 N 必须是平方数的两倍、六倍，或当 T 与 ABC 相似时，N 可为两平方数之和。
• 对于 30-60-90 三角形，N 可为平方数或平方数的三倍，对应“三倍平方”镶嵌。
• 当 ABC 为等边三角形时，N 可为 3m²（使用等腰瓷砖）、6m² 或 2m²（使用 30-60-90 瓷砖），或为完全平方数（使用相似瓷砖）。
• 当 N = e² + f² 且 T 为直角三角形（直角边为 e 和 f）时，双二次镶嵌存在，可构成对直角三角形 ABC 的镶嵌。
• 本文证明，除已分类的情形外，不存在其他镶嵌——穷尽了所有相似或直角瓷砖的可能情形。