[论文解读] Triangles and Girth in Disk Graphs and Transmission Graphs

Haim Kaplan, Katharina Klost+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出了在磁盘图和传输图中检测三角形及计算围长的高效算法——这两种图模型用于模拟传感器网络。通过利用几何特性、批量范围搜索以及线性化四叉树，作者在无向和有向变体中均实现了寻找最短三角形的 O(n log n) 期望时间复杂度，并在磁盘图中实现了加权围长的 O(n log n) 期望时间复杂度，显著优于一般图算法的方法。

ABSTRACT

Let $S \subset \mathbb{R}^2$ be a set of $n$ sites, where each $s \in S$ has an associated radius $r_s > 0$. The disk graph $D(S)$ is the undirected graph with vertex set $S$ and an undirected edge between two sites $s, t \in S$ if and only if $|st| \leq r_s + r_t$, i.e., if the disks with centers $s$ and $t$ and respective radii $r_s$ and $r_t$ intersect. Disk graphs are used to model sensor networks. Similarly, the transmission graph $T(S)$ is the directed graph with vertex set $S$ and a directed edge from a site $s$ to a site $t$ if and only if $|st| \leq r_s$, i.e., if $t$ lies in the disk with center $s$ and radius $r_s$. We provide algorithms for detecting (directed) triangles and, more generally, computing the length of a shortest cycle (the girth) in $D(S)$ and in $T(S)$. These problems are notoriously hard in general, but better solutions exist for special graph classes such as planar graphs. We obtain similarly efficient results for disk graphs and for transmission graphs. More precisely, we show that a shortest (Euclidean) triangle in $D(S)$ and in $T(S)$ can be found in $O(n \log n)$ expected time, and that the (weighted) girth of $D(S)$ can be found in $O(n \log n)$ expected time. For this, we develop new tools for batched range searching that may be of independent interest.

研究动机与目标

• 开发更快的算法，用于检测磁盘图与传输图中的三角形并计算其围长，这些图模型用于模拟几何传感器网络。
• 通过利用几何结构，克服一般图算法在三角形检测中需接近立方时间复杂度的局限。
• 在这些几何图类中，实现接近最优的期望时间复杂度——O(n log n)，用于最短三角形与围长的计算。
• 将结果扩展至加权变体，特别是基于随机化算法实现磁盘图中加权围长的计算。
• 探索确定性算法的可行性，并将研究成果扩展至传输图，包括有向围长的计算。

提出的方法

• 利用几何观察将磁盘图与平面图关联，通过空间划分实现高效的三角形检测。
• 应用基于线性化四叉树的批量范围搜索，以测试点是否属于多个磁盘的并集，这对于处理大半径站点至关重要。
• 引入一种基于边长为 ℓ/√2 的网格的分层分解，以限制三角形周长并减少候选检查的数量。
• 利用 Chan 的随机化优化技术，将判定问题转化为优化问题，从而在最短三角形检测中实现期望 O(n log n) 时间复杂度。
• 开发一种方法，用于寻找包含给定顶点的最短环，从而实现磁盘图中加权围长的计算。
• 利用角度与距离约束，限制从大半径站点到小半径站点的相关边数，确保每个站点的总工作量为线性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用几何结构，使磁盘图中的三角形检测速度优于 O(n³)？
• RQ2 磁盘图与传输图中围长计算的最优时间复杂度是多少？
• RQ3 批量范围搜索技术能否被适配以高效测试几何图中点是否属于多个磁盘的并集？
• RQ4 是否存在一种确定性 O(n log n) 算法，用于在磁盘图中寻找最短三角形？
• RQ5 能否将磁盘图的方法扩展至传输图，以类似效率计算其围长？

主要发现

• 通过几何划分与批量范围查询，可在 O(n log n) 期望时间内找到磁盘图中的最短（欧几里得）三角形。
• 基于从每个顶点出发的环检测的随机化算法，可在 O(n log n) 期望时间内计算磁盘图的加权围长。
• 通过利用空间划分中的角度与距离约束，可在 O(n log n) 期望时间内检测传输图中的有向三角形。
• 传输图的算法依赖于新颖的批量范围搜索技术，结合线性化四叉树与三维多面体，用于测试点是否属于多个磁盘的并集。
• 对于传输图，该方法确保每个顶点仅需检查 O(1) 个候选站点，从而在预处理后实现线性总工作量。
• 在代数决策树模型中，该结果对传输图而言是最优的，因为三角形检测可归约为 ε-接近性问题，而该问题已知需要 Ω(n log n) 时间。