[论文解读] Triangles in graphs without bipartite suspensions

Dhruv Mubayi, Sayan Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2020

Limits and Structures in Graph Theory被引用 4

一句话总结

本文建立了广义图兰数 ex(n, K₃, Ĥ) 的改进上界，其中 Ĥ 是图 H 的悬垂图，重点研究 H 为完全二部图 K_{a,b}、偶圈 C_{2k} 或路径 P_k 的情况。通过三角形移除引理与邻域结构分析，证明了 ex(n, K₃, K̂_{1,a,b}) = o(n^{3−1/a}) 与 ex(n, K₃, K̂_{1,2,2}) = o(n^{5/2})，显著改进了先前的界，并缩小了与猜想的二次上界之间的差距。

ABSTRACT

Given graphs $T$ and $H$, the generalized Turán number ex$(n,T,H)$ is the maximum number of copies of $T$ in an $n$-vertex graph with no copies of $H$. Alon and Shikhelman, using a result of Erd\H os, determined the asymptotics of ex$(n,K_3,H)$ when the chromatic number of $H$ is greater than 3 and proved several results when $H$ is bipartite. We consider this problem when $H$ has chromatic number 3. Even this special case for the following relatively simple 3-chromatic graphs appears to be challenging. The suspension $\widehat H$ of a graph $H$ is the graph obtained from $H$ by adding a new vertex adjacent to all vertices of $H$. We give new upper and lower bounds on ex$(n,K_3,\widehat{H})$ when $H$ is a path, even cycle, or complete bipartite graph. One of the main tools we use is the triangle removal lemma, but it is unclear if much stronger statements can be proved without using the removal lemma.

研究动机与目标

• 确定 n 个顶点的图中三角形数量的更紧上界，这些图排除了 3-色图 H 的悬垂图 Ĥ = K₁ ∨ H。
• 解决关于 ex(n, K₃, K̂_{1,2,2}) 是否为 O(n²) 的开放问题，提供超二次上界与二次下界。
• 将分析扩展至已知结果之外的 χ(H) > 3 与 χ(H) = 2 情况，聚焦于更具挑战性的 χ(H) = 3 情况。
• 探讨三角形移除引理与邻域结构在推导广义图兰问题改进渐近界中的作用。

提出的方法

• 以不等式 ex(n, K₃, Ĥ) ≤ (n/3) · ex(n, H) 作为基线，再通过 Ĥ-自由图中邻域的结构约束进行优化。
• 应用三角形移除引理，表明三角形数量少的图必有有界数量的边不相交三角形，从而支持分解技术。
• 通过分析三角形中的共同度与边类型（轻边/重边），利用边删除法导出三角形计数的归纳界。
• 对 H = K_{a,b} 使用 Kövari–Sós–Turán 定理，对 H = C_{2k} 使用 Bondy–Simonovits 界，以限制 ex(n, H)。
• 对邻域度数之和的 (α−1) 次幂应用 Jensen 不等式，将总三角形数以 ex(n, H) = O(n^α) 的形式界定。
• 通过定理 6.1 推广结果：若 ex(n, H) = O(n^α) 且 1 < α < 2，则 ex(n, K₃, Ĥ) = o(n^{1+α})，统一了对不同 H 类型的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 bound ex(n, K₃, K̂_{1,a,b}) = O(n^{3−1/a}) 改进为 o(n^{3−1/a})，对固定的 a ≥ 1, b ≥ a？
• RQ2 ex(n, K₃, K̂_{1,2,2}) 是否为 O(n²)，还是如当前 o(n^{5/2}) 上界所示，其增长严格快于二次？
• RQ3 对固定的 k ≥ 3，ex(n, K₃, K̂_{P_k}) 的真实渐近增长为何？二次下界 Ω(n²) 是否紧？
• RQ4 在证明此类广义图兰界时，在多大程度上可以避免使用三角形移除引理？它是否对强结果而言必不可少？
• RQ5 是否能对所有满足 ex(n, H) = O(n^α)（1 < α < 2）的 H，统一建立 ex(n, K₃, Ĥ) = o(n^{1+α}) 的界？

主要发现

• 对固定的 1 ≤ a ≤ b，有 ex(n, K₃, K̂_{1,a,b}) = o(n^{3−1/a})，改进了 Kövari–Sós–Turán 定理由前所得的 O(n^{3−1/a}) 界。
• 对 H = C_{2k}，有 ex(n, K₃, K̂_{C_{2k}}) = o(n^{2+1/k})，改进了 Bondy–Simonovits 所得的经典 O(n^{2+1/k}) 界。
• 对 H = P_k（k ≥ 3），有 ex(n, K₃, K̂_{P_k}) ≥ ⌊(k−1)/2⌋ · n²/8，当 n 被 4⌊(k−1)/2⌋ 整除时，提供二次下界。
• 对 k = 3, 4, 5，有 ex(n, K₃, K̂_{P_k}) = ⌊(k−1)/2⌋ · n²/8 + o(n²)，表明在这些情况下下界渐近紧致。
• 定理 6.1 建立了一般性结果：若 ex(n, H) = O(n^α) 且 1 < α < 2，则 ex(n, K₃, Ĥ) = o(n^{1+α})，统一了对不同 H 类型的分析。
• 本文证明三角形移除引理对实现强 o(n^{1+α}) 界至关重要，因其他方法不足以达成此目标。