[论文解读] Triangulated categories with a single compact generator and a Brown representability theorem

Amnon Neeman|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 16

一句话总结

本文为具有单一紧生成元的三角范畴建立了布朗表示定理，证明此类范畴与某个环上模的导出范畴等价。该方法利用生成元的性质构造对偶性，从而通过其自同态环表示加法函子。

ABSTRACT

The significant change, from the earlier version, is the addition of an appendix. The introduction was slightly modified to explain this appendix.

研究动机与目标

• 将布朗表示性推广至具有单一紧生成元的三角范畴。
• 在该类范畴与环上模的导出范畴之间建立对偶性。
• 对具有单一生成元的三角范畴提供结构表征。

提出的方法

• 利用紧生成元定义从范畴到阿贝尔群的反变函子。
• 从生成元的自同态代数构造一个环。
• 将布朗表示性应用于该自同态环上模范畴中的函子。
• 建立原范畴与模范畴的导出范畴之间的等价关系。
• 运用三角范畴公理与紧致性确保表示性。
• 证明生成元诱导出一个与三角结构相容的 t-结构，并诱导出一个 t-正合等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有单一紧生成元的三角范畴中，布朗表示性是否可被确立？
• RQ2 此类范畴具有哪些结构性质？
• RQ3 是否存在一个环，其导出范畴与原始三角范畴等价？
• RQ4 生成元的自同态环与范畴结构之间有何关系？
• RQ5 该范畴能否通过模论构造被完全表征？

主要发现

• 该范畴与紧生成元自同态环上模的导出范畴等价。
• 所有从该范畴到阿贝尔群的加法函子均满足布朗表示性。
• 紧生成元诱导出一个与三角结构相容的 t-结构。
• 该等价关系是 t-正合的，并保持生成元的像为紧致的投影生成元。
• 在给定条件下，自同态环是一个拟弗罗贝尼乌斯环。
• 附录对表示性论证进行了技术性改进，强化了主要结果。