[论文解读] Triangulated categories with a single compact generator and two Brown representability theorems

Amnon Neeman|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2018

Algebraic structures and combinatorial models被引用 5

一句话总结

本文为具有单个紧生成元和近似性条件的三角范畴建立了广义布朗表示定理，证明了从 coherent sheaves 的有界导出范畴到完美复形上有限 R-线性同调函子范畴的 Yoneda 嵌入是一个等价。该结果将 Bondal 与 Van den Bergh 的定理推广至诺特环上的概形，并为导出代数几何中的表示性提供了基础工具。

ABSTRACT

We develop the general formalism of approximable triangulated categories, and prove two representability theorems.

研究动机与目标

• 将 Bondal 与 Van den Bergh 对域上概形导出范畴的表示性定理推广至任意诺特环上的概形。
• 在具有共积、单个紧生成元和近似性条件的抽象三角范畴设定下，建立一个表示性定理。
• 仅使用三角范畴论的概念，对标准导出范畴（例如 $\mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$）提供结构性刻画。
• 通过强化现有的表示性结果，为 Jack Hall 的 GAGA 风格定理提供技术基础。
• 在较弱条件下证明：从 $\mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$ 到 $\mathbf{D}^{\mathrm{perf}}(X)^{\mathrm{op}}$ 上有限 R-线性同调函子的 Yoneda 函子是一个等价。

提出的方法

• 引入具有共积和单个紧生成元的三角范畴的近似性概念，确保其与 t-结构和同调函子相容。
• 在全子范畴 $\mathscr{B}$ 上定义 $G$-局部有限和 $G$-有限的同调函子，要求在生成元 $G$ 的移位上取值为有限 $R$-模，并在足够负或正的移位上消失。
• 在近似性和有限性条件下，证明受限 Yoneda 函子 $\mathscr{Y}: \mathscr{T} \to \mathrm{Hom}((\mathscr{T}^c)^{\mathrm{op}}, R\textup{--mod})$ 是满的、忠实的且本质满射。
• 使用一个函子等价性准则（引理 A.1），该准则要求函子是满的、忠实的，并存在一个对象集 $P$ 满足 $\mathrm{Hom}(\mathscr{L}(P), -)^\perp = 0$ 且在 Hom-集上诱导同构。
• 将主要表示性定理应用于解析化函子 $\mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X) \to \mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X^{\mathrm{an}})$，证明其存在右伴随函子，并通过准则成为等价。
• 验证生成集 $P$（由在闭点上支撑的移位完美复形构成）满足引理 A.1 的条件，从而可应用等价性准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bondal 与 Van den Bergh 的表示性定理能否从域上概形推广至任意诺特环上的概形？
• RQ2 在具有单个紧生成元的三角范畴中，何种结构性条件可确保 Yoneda 嵌入到有限 R-线性同调函子范畴中为等价？
• RQ3 如何定义并应用近似性概念，以在抽象三角范畴中推导表示性定理？
• RQ4 表示性定理在多大程度上可用于证明代数几何中导出范畴之间的等价性，如 GAGA 型定理？
• RQ5 在仅知其在生成集上的行为及其与 Hom-集和正交性的相容性时，何种条件可确保一个三角函子为等价？

主要发现

• 当 $X$ 是诺特环 $R$ 上的概形时，从 $\mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$ 到 $\mathbf{D}^{\mathrm{perf}}(X)^{\mathrm{op}}$ 上有限 R-线性同调函子范畴的 Yoneda 映射是一个等价。
• 对于拟紧、分离的概形 $X$，范畴 $\mathbf{D}_{\mathrm{qc}}(X)$ 是近似可的，从而可应用主要表示性定理。
• 谱的同伦范畴和负度数的 dg 代数的导出范畴也是近似可的，扩展了结果的适用范围。
• 通过主定理和引理 A.1 中的准则，证明了解析化函子 $\mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X) \to \mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X^{\mathrm{an}})$ 是一个等价。
• 证明技术仅依赖于最小数据——即在闭点上支撑的完美复形的生成集 $P$——从而可在不了解目标范畴全貌的情况下建立等价性。
• 该结果通过表明各种 GAGA 型定理是三角范畴中单一表示性原理的特例，统一了代数几何中的多种 GAGA 型定理。