[论文解读] Triangulated category of effective $Witt$-motives $DWM^-_{eff}(k)$

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 5

一句话总结

该论文利用 Voevodsky-Suslin 的方法，基于通过具有对称同构的投影模定义的 Witt-对应，为特征不等于 2 的完美域 $k$ 构造了有效 Witt-动机的三角范畴 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$。关键结果建立了自然同构 $\operatorname{Hom}_{DWM^{-}_{\text{eff}}(k)}(WM(X),\mathscr{F}[i]) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X,\mathscr{F})$，其中 $X$ 为光滑仿射概形，$\mathscr{F}$ 为具有 Witt-转移的同伦不变 Nisnevich 层，将动机上同调框架推广至 Witt 理论设定。

ABSTRACT

The category of effective $Witt$-motives $DWM^-(k)$ with functor $WM\colon Sm_k o DWM^-(k)$ defining motives of smooth affine varieties for perfect field $k$, $char k eq 2$ is constructed. In the construction Voevodsky-Suslin method is applyed to a category of $Witt$-correspondence between affine smooth varieties $WCor_k$ that morphisms are defined by class in $Witt$-group of quadratic space $(P,q_P)$ with $P$ being $k[X imes Y]$-module finitely generated projective over $k[X]$ and $q_P\colon P o Hom_{k[X]}(P,k[X])$ being $k[X imes Y]$-liner isomorphism. And the natural isomorphism $$Hom_{DWM^-_{eff}(k)}(WM(X),\mathcal F[i]) \simeq H^i_{Nis}(X,\mathcal F) $$ for any smooth affine $X$ and homotopy invariant Nisnevich sheave $\mathcal F$ with $Witt$-transfers (that is presheave on the category $WCor_k$ such that its restriction on the category $Sm_k$ is a sheave) is proved.

研究动机与目标

• 为特征不等于 2 的完美域 $k$ 构造有效 Witt-动机的三角范畴 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$，推广 Voevodsky 对 $DM^{-}(k)$ 的构造。
• 定义函子 $WM: \text{Sm}_k \to DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$，通过 Witt-对应将 Witt-动机赋予光滑仿射概形。
• 在 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ 中的态射群与具有 Witt-转移的层的 Nisnevich 上同调群之间建立自然同构。
• 证明 Nisnevich 层的局部化保持具有 Witt-转移的预层的同伦不变性，强化了先前的结果。
• 证明具有 Witt-转移的 Nisnevich 层范畴 $ShNisWtr$ 是阿贝尔范畴，并支持动机的导出范畴框架。

提出的方法

• 构造光滑仿射概形之间的 Witt-对应范畴 $WCor_k$，其中态射由 $k[X \times Y]$-模 $P$ 给出，$P$ 是 $k[X]$ 上的有限生成投影模，并配备一个对称的 $k[X \times Y]$-线性同构 $q_P: P \to \operatorname{Hom}_{k[X]}(P, k[X])$。
• 定义 Witt-对应的预层 $WCor(-, Y)$，并在 Nisnevich 拓扑中进行局部化，得到 $WCor_{Nis}(-, Y)$，作为动机构造的基础。
• 引入具有 Witt-转移的 Nisnevich 层的有上界复形范畴 $D^{-}(ShNisWtr_k)$，并证明其为阿贝尔范畴，支持导出范畴。
• 利用 Zariski 和 étale 的 excision 同构，证明同伦不变预层具有 Witt-转移的 Nisnevich 层局部化 $\mathscr{F}_{\text{Nis}}$ 为严格同伦不变。
• 将范畴 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ 构造为 $D^{-}(ShNisWtr_k)$ 的全子范畴，其中上同调层为同伦不变。
• 通过半正交分解与局部化方法，证明 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ 同构于 $D^{-}(ShNisWtr_k)$ 沿映射 $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ 的局部化，并通过伴随与 Ext-同构证明关键同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Voevodsky-Suslin 方法能否被改编，以使用 Witt-对应而非经典对应来构造有效 Witt-动机的三角范畴？
• RQ2 具有同伦不变性的预层的 Nisnevich 层局部化是否仍保持严格同伦不变？
• RQ3 对于光滑仿射概形 $X$ 与同伦不变的 $\mathscr{F}$（具有 Witt-转移），是否存在自然同构 $\operatorname{Hom}_{DWM^{-}_{\text{eff}}(k)}(WM(X), \mathscr{F}[i]) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X, \mathscr{F})$？
• RQ4 能否证明具有 Witt-转移的 Nisnevich 层范畴 $ShNisWtr_k$ 为阿贝尔范畴，并支持导出范畴框架？
• RQ5 范畴 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ 是否同构于 $D^{-}(ShNisWtr_k)$ 沿投影 $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ 的局部化？

主要发现

• 范畴 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ 被构造为 $D^{-}(ShNisWtr_k)$ 的同伦不变部分，且同构于 $D^{-}(ShNisWtr_k)$ 沿所有光滑仿射 $X$ 的映射 $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ 的局部化。
• 任意同伦不变预层具有 Witt-转移的 Nisnevich 层局部化 $\mathscr{F}_{\text{Nis}}$ 为严格同伦不变，此结论通过 Zariski 与 étale 的 excision 同构建立。
• 具有 Witt-转移的 Nisnevich 层范畴 $ShNisWtr_k$ 为阿贝尔范畴，从而支持导出范畴的构造，并允许将 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ 定义为全子范畴。
• 关键同构 $\operatorname{Hom}_{DWM^{-}_{\text{eff}}(k)}(WM(X), \mathscr{F}[i]) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X, \mathscr{F})$ 对所有光滑仿射 $X$ 与同伦不变的 $\mathscr{F}$ 成立，推广了动机上同调。
• $D^{-}(ShNisWtr_k)$ 具有半正交分解 $\langle \mathcal{B}, \mathcal{A} \rangle$，其中 $\mathcal{B}$ 由映射 $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ 的锥生成，$\mathcal{A}$ 同构于 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$，从而确认了局部化性质。
• 函子 $WM: \text{Sm}_k \to DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ 定义为复合函子 $l_{\mathbb{A}} \circ \widetilde{(-)}_{\text{Nis}} \circ Wtr \circ \mathbb{Z}(-)$，将每个光滑仿射概形映射为其在导出范畴中的 Witt-动机。