[论文解读] Tricyclic graphs with exactly two main eigenvalues

Xiaoxia Fan, Yanfeng Luo|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2010

Graph theory and applications参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过利用2-行走(a,b)-线性性质（等价于恰好具有两个主特征值），完全刻画了所有恰好具有两个主特征值的连通三环图。作者识别出30个特定图$H_i$（$i=1$至$30$）和八个族${\mathcal{G}}_j$（$j=1$至$8$），全面分类了所有此类图，并通过顶点的度数和条件显式验证了其2-行走线性性。

ABSTRACT

An eigenvalue of a graph $G$ is called a main eigenvalue if it has an eigenvector the sum of whose entries is not equal to zero. In this paper, all connected tricyclic graphs with exactly two main eigenvalues are determined.

研究动机与目标

• 确定所有恰好具有两个主特征值的连通三环图，扩展此前对单环图和双环图的研究。
• 利用2-行走(a,b)-线性性质对这些图进行刻画，该性质与恰好具有两个主特征值等价。
• 通过识别其基结构以及树可附加到这些结构上的方式，对所有此类图进行分类，同时保持两个主特征值的性质。
• 提供一份完整且明确的此类图列表，包括30个特定图$H_i$和八个参数化族${\mathcal{G}}_j$。

提出的方法

• 利用Hagos（2002）建立的、恰好具有两个主特征值的图与2-行走(a,b)-线性图之间的等价性。
• 应用条件$S(v) = a d(v) + b$对所有顶点$v$成立，其中$S(v)$为$v$的邻居的度数之和，$a,b$为有理常数。
• 分析每个图$G$的基三环子图$G_B$，该子图不含悬挂顶点，且为先前工作中分类的八种可能类型之一。
• 利用引理2.4和2.5的结构约束，限制内部路径和环中的路径长度与度数模式。
• 应用公式$a = \frac{S(v)-S(u)}{d(v)-d(u)}$，$b = \frac{d(u)S(v) - d(v)S(u)}{d(v)-d(u)}$，对度数不同的顶点，推导出$a$和$b$的整数值。
• 系统性地枚举所有可能的悬挂顶点配置和基图上的度数序列，验证2-行走线性性及$a,b$的整数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些连通三环图恰好具有两个主特征值，以及如何对它们进行完全分类？
• RQ2 三环图需满足何种结构约束，才能成为有理数$a,b$下的2-行走(a,b)-线性图？
• RQ3 基三环子图中顶点的度数及其邻居和如何约束此类图的存在性？
• RQ4 满足两个主特征值条件的完整图族（包括参数化族）是什么？
• RQ5 是否能通过在有限组基结构上附加满足特定度数和和条件的树，生成所有此类图？

主要发现

• 所有恰好具有两个主特征值的连通三环图均被完全分类为30个特定图$H_i$（$i=1$至$30$）和八个族${\mathcal{G}}_j$（$j=1$至$8$）。
• 图$H_{24}$至$H_{29}$分别为2-行走$(2,2)$-、$(1,4)$-、$(0,6)$-、$(3,-1)$-、$(2,1)$-和$(1,3)$-线性，其显式度数和条件已验证。
• 图$H_{30}$为2-行走$(2,2)$-线性，当基图中三个相邻顶点的度数为3，且其余结构满足$a+b=4$时出现。
• 族${\mathcal{G}}_7$包含满足$a=3$，$b\geq1$的图，为2-行走$(3,b)$-线性，且为保持一致性，要求$p=l=q=2$。
• 对于${\mathcal{G}}_8$中的图，其基图为三角形加悬挂路径，条件$a=2$，$b=2$成立，且对所有顶点有$a+b=4$，$S(v)=2d(v)+2$。
• 不存在$a$或$b$为非整数的此类图，所有有效配置均由30个$H_i$图和八个${\mathcal{G}}_j$族穷尽。