[论文解读] Triple correlations of Fourier coefficients of cusp forms

Yongxiao Lin|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文利用谱方法和库兹涅佐夫迹公式，为全纯尖形式的傅里叶系数的三重相关性建立了非平凡上界。结果表明，和 $\sum_{H\leq h\leq 2H}W\left(\frac{h}{H}\right)\sum_{X\leq n\leq 2X}\lambda_1(n-h)\lambda_2(n)\lambda_3(n+h)$ 的上界为 $X^{\varepsilon}\min\left(XH,\frac{X^2}{H^{1/2}}\right)$，当 $H \geq X^{2/3+\varepsilon}$ 时该上界是非平凡的，为布洛默关于除数函数的工作提供了尖形式的类比。

ABSTRACT

We treat an unbalanced shifted convolution sum of Fourier coefficients of cusp forms. As a consequence, we obtain an upper bound for correlation of three Hecke eigenvalues of holomorphic cusp forms $\sum_{H\leq h\leq 2H}W\big(\frac{h}{H}\big)\sum_{X\leq n\leq 2X}λ_{1}(n-h)λ_{2}(n)λ_{3}(n+h)$, which is nontrivial provided that $H\geq X^{2/3+\varepsilon}$. The result can be viewed as a cuspidal analogue of a recent result of Blomer on triple correlations of divisor functions.

研究动机与目标

• 建立布洛默关于除数函数三重相关性结果的尖形式类比。
• 分析全纯尖形式的三个赫cke特征值的非对称平移卷积和。
• 在条件 $H \geq X^{2/3+\varepsilon}$ 下，推导三重相关和的非平凡上界。
• 克服由于尖形式傅里叶系数缺乏分解结构（与除数函数不同）而引发的技术难题。

提出的方法

• 应用库兹涅佐夫迹公式，将和与马斯形式上的谱和联系起来。
• 利用圆法和冯·科赫求和处理平移卷积结构。
• 通过大筛法不等式和贝塞尔函数的界来估计谱和。
• 通过驻相位法和指数和估计控制振荡积分。
• 利用系数序列的 $\ell^2$-范数来控制谱展开中的误差项。
• 将布洛默处理除数函数的方法适配到尖形式情形，因缺乏乘法分解而进行相应修改。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为全纯尖形式傅里叶系数的三重相关性建立非平凡上界？
• RQ2 非平凡性的 $H$ 范围与除数函数情形相比如何？
• RQ3 将布洛默的方法从欧几里得形式推广到尖形式时，主要的分析障碍是什么？
• RQ4 在缺乏乘法结构的情况下，谱方法和库兹涅佐夫迹公式能否给出有效上界？

主要发现

• 和 $\sum_{h}W\left(\frac{h}{H}\right)\sum_{X\leq n\leq 2X}a(n)\lambda_1(n+h)\lambda_2(n-h)$ 的上界为 $X^{\varepsilon}\frac{X}{H}\left((XH)^{1/2}+\frac{X}{H^{1/2}}\right)\|a\|_{2}$。
• 当 $H \geq X^{2/3+\varepsilon}$ 时该上界是非平凡的，其范围弱于除数函数情形下的 $H \geq X^{1/3+\varepsilon}$。
• 该结果通过谱方法和库兹涅佐夫迹公式导出，误差项由大筛法不等式和 $\ell^2$-范数估计控制。
• 主要困难在于无法像除数函数情形那样对尖形式傅里叶系数进行分解，从而限制了 $H$ 的范围。
• 该上界与布洛默结果中谱项的大小一致，表明谱贡献是主要误差来源。