[论文解读] Triple crossing numbers of graphs

Hiroyuki Tanaka, Masakazu Teragaito|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文引入了图的三重交叉数（tcr），定义为在仅允许三重交叉的绘制中三重交叉点的最小数量。本文确定了所有完全多部图的tcr，表明当t ≥ 5个部分集时tcr(G) = ∞，并给出了t ≤ 4时的精确值，包括tcr(K_{n,3}) = 2（当n ≥ 7时）和tcr(K_{6,1,1,1}) = 2。

ABSTRACT

We introduce the triple crossing number, a variation of crossing number, of a graph, which is the minimal number of crossing points in all drawings with only triple crossings of the graph. It is defined to be zero for a planar graph, and to be infinite unless a graph admits a drawing with only triple crossings. In this paper, we determine the triple crossing numbers for all complete multipartite graphs including all complete graphs.

研究动机与目标

• 将三重交叉数（tcr）定义并形式化为一种基于仅含三重交叉的绘制的新图不变量。
• 确定哪些完全多部图存在仅含三重交叉的半正则绘制。
• 计算所有完全多部图K_{n₁,…,nₜ}的tcr(G)的精确值，特别是当t ≤ 4时。
• 使用几何与组合论证，建立完全多部图具有有限tcr的充要条件。
• 将该概念推广至n重交叉数，并讨论其对非平面图的含义。

提出的方法

• 将tcr(G)定义为图G的半正则绘制中三重交叉点的最小数量，若不存在此类绘制则tcr(G) = ∞。
• 利用引理2.3证明：若q > 3p - 6，则tcr(G) = ∞，其中q为边数，p为顶点数。
• 应用欧拉公式并借助引理2.4进行面计数，分析通过将三重交叉替换为顶点而得到的平面图的结构。
• 使用几何论证表明，某些完全二部图如K_{5,4}、K_{4,4}、K_{5,3}和K_{n,3}（n ≥ 7）不具有半正则绘制。
• 为K_{3,1,1,1}、K_{4,1,1,1}和K_{6,1,1,1}等图构造具有最小三重交叉的显式绘制，以验证tcr = 1或2。
• 基于部分集大小的案例分析，将方法推广至三部图和四部图。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些完全多部图存在仅含三重交叉的半正则绘制？
• RQ2 对于具有t ≤ 4个部分集的完全多部图，三重交叉数的精确值是什么？
• RQ3 为何具有t ≥ 5个部分集的完全多部图的三重交叉数为无穷大？
• RQ4 能否计算完全二部图K_{n,m}（当m = 3时）的三重交叉数？
• RQ5 三重交叉数与经典交叉数及其他变体（如n重交叉数）有何关系？

主要发现

• 当t ≥ 5时，完全多部图K_{n₁,…,nₜ}的三重交叉数为无穷大，原因是边数超过3p - 6。
• 当t = 4时，若n₁、n₂、n₃、n₄中任一值≥3，则tcr(K_{n₁,n₂,n₃,n₄}) = ∞，但K_{3,1,1,1}和K_{4,1,1,1}的tcr = 1。
• 对于K_{6,1,1,1}，三重交叉数为2，经显式绘制和已知结果tcr(K_{6,3}) = 2验证。
• 对于三部图K_{n₁,n₂,n₃}，当n₃ ≥ 3，或n₃ = 2且(n₁,n₂) ≠ (2,2)，或n₃ = 1且n₂ ≥ 4，或(n₂ = 3且n₁ ≥ 4)时，tcr(G) = ∞。
• tcr(K_{3,3,1}) = 1，tcr(K_{3,2,1}) = 1，tcr(K_{4,2,1}) = 1，tcr(K_{6,2,1}) = 2，基于几何构造及对K_{n,3}的约化。
• 三重交叉数满足：tcr(G) = 0当且仅当G是平面图，且一般有tcr(G) ≤ cr(G)/3，这是由于三重交叉点可扰动为三个双交叉点。