[论文解读] Triple product p-adic L-functions associated to finite slope p-adic families of modular forms, with an appendix by Eric Urban

Fabrizio Andreatta, Adrian Iovita|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文利用 p-进模曲线上的向量丛与标记截面的新型几何框架，为有限斜率 p-进模形式族构造了三重积 p-进 L-函数。通过定义 p-进族的近乎过收敛模形式并利用 Gauss-Manin 联络与过收敛投影证明插值性质，解决了有限斜率情形下长期存在的空白。附录中 Eric Urban 对构造进行了修正。

ABSTRACT

We p-adically interpolate the relative de Rham cohomology of the universal elliptic curve over strict neighbourhoods of the ordinary locus of modular curves, together with the Hodge filtration and Gauss-Manin connection. Sections of these sheaves provide the so called nearly overconvergent modular forms. This extends previous work of Andreatta, Iovita and Pilloni where we p-adically interpolate powers of the Hodge bundle and in that case the sections coincide with Coleman overconvergent modular forms. We also show that, under suitable assumptions, one can p-adically interpolate the Gauss-Manin connection. This is used to define p-adic L-functions attached to a triple of p-adic finite slope families of modular forms, generalizing previous constructions for Hida families.

研究动机与目标

• 为三重积的有限斜率 p-进模形式族构造 p-进 L-函数，扩展此前仅限于平凡或 Hida 族的结果。
• 解决 Urban 在 2014 年对有限斜率情形下 Rankin-Selberg p-进 L-函数构造中的关键空白。
• 发展一个通用的几何框架——带标记截面的向量丛——适用于 p-进模层族与 p-除子群。
• 为有限斜率的过收敛特征形式建立结晶 Eichler-Shimura 同构程序，为未来工作奠定基础。
• 在有限斜率设定下，提供近乎过收敛 Eisenstein 族及其相关 p-进 L-函数的修正且完整的构造。

提出的方法

• 引入形式向量丛与标记截面及其函数层上的滤子，以建模 p-进模层族的变化。
• 将层 $\mathbb{W}_k$ 定义为 p-进族上模层的形变，配备 Gauss-Manin 联络 $\nabla_k$。
• 利用 $U$-算子与 $V$-算子定义 $p$-消去，并通过过收敛投影构造近乎过收敛模形式。
• 迭代应用 Gauss-Manin 联络以生成具有可控增长的 $p$-进上同调类族与 $q$-展开式族。
• 通过扭和有限斜率投影，将三重积 $p$-进 $L$-函数 $G^{E}_{Q,\mathfrak{U},R,\mathfrak{V}}$ 构造为 $A(\mathfrak{V} \times \mathcal{E}_{Q,\mathfrak{U}} \times \mathfrak{X}')[[q]]$ 中的 $q$-展开式。
• 利用 $\nabla$-作用于 $q$-展开式以验证插值性质，并确保与经典特殊值的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为三个有限斜率 $p$-进模形式族构造三重积 $p$-进 $L$-函数，超越平凡情形？
• RQ2 带标记截面的向量丛几何框架如何用于构造 $p$-进族的近乎过收敛模形式？
• RQ3 Gauss-Manin 联络及其迭代在定义具有插值性质的 $p$-进 $L$-函数中起什么作用？
• RQ4 如何修正 Urban (2014) 中的缺陷，以在有限斜率情形下得到有效的 $p$-进 $L$-函数？
• RQ5 该方法能否推广以放宽斜率条件，并将构造扩展至整个特征曲线？

主要发现

• 本文为三个有限斜率 $p$-进模形式族构造了三重积 $p$-进 $L$-函数 $G^{E}_{Q,\mathfrak{U},R,\mathfrak{V}}$，其在非平衡区域有效。
• 附录中 Eric Urban 完成了构造并予以修正，修复了 Urban (2014) 中与有限斜率情形下 Rankin-Selberg $p$-进 $L$-函数相关的致命缺陷。
• $p$-进 $L$-函数的 $q$-展开式被证明在经典点处插值三重积 $L$-函数的特殊值。
• 该方法表明，Gauss-Manin 联络及其迭代可生成与 $q$-展开式相容的 $p$-进上同调类族。
• 有限斜率投影算子 $e_{R,\mathfrak{V}}$ 有效从全族 $G^{E}_{Q,\mathfrak{U}}$ 中分离出权 $\kappa$ 的近乎过收敛形式。
• 该框架可通过将条件 $u_\kappa \in p\Lambda_I$ 替换为拓扑幂零性，推广至 ${\mathfrak{X}}$ 而非仅 ${\mathfrak{X}}'$，暗示其更广泛的应用潜力。