[论文解读] Tropical Convexity

Mike Develin, Bernd Sturmfels|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2003

Synthetic Organic Chemistry Methods被引用 236

一句话总结

本文在热带几何中引入了热带凸性与热带多面体，建立了其组合类型与两个单纯形乘积的正则剖分之间的双射关系。该理论被应用于系统发育树的研究，但关于内射包的定理29与推论30存在错误，已在勘误中更正。

ABSTRACT

The notions of convexity and convex polytopes are introduced in the setting of tropical geometry. Combinatorial types of tropical polytopes are shown to be in bijection with regular triangulations of products of two simplices. Applications to phylogenetic trees are discussed. Theorem 29 and Corollary 30 in the paper, relating tropical polytopes to injective hulls, are incorrect. See the erratum at this http URL .

研究动机与目标

• 在热带几何的背景下形式化凸性与凸多面体的概念。
• 建立热带多面体与两个单纯形乘积的正则剖分之间的组合对应关系。
• 探索热带凸性在系统发育树研究中的应用。
• 利用组合与几何技术分析热带多面体的结构特性。
• 识别并更正先前关于热带几何中内射包的错误主张。

提出的方法

• 使用热带半环算术中的最小运算来定义热带凸包。
• 将热带多面体表征为有限个热带半空间的交集。
• 利用单纯形乘积的正则剖分对热带多面体的组合类型进行分类。
• 运用代数几何与离散几何的技术，将剖分与多面体结构联系起来。
• 采用热带半环（R ∪ {∞}, min, +）作为定义热带凸性的基础代数结构。
• 利用热带多面体与单纯形Minkowski和的混合剖分之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在热带几何中推广凸性的概念？
• RQ2 热带多面体的组合结构是什么？如何对其进行分类？
• RQ3 热带多面体与两个单纯形乘积的正则剖分之间存在何种关系？
• RQ4 热带多面体如何与系统发育树的几何结构相关联？
• RQ5 在热带多面体的语境下，内射包的正确结构特性是什么？

主要发现

• 热带多面体的组合类型与两个单纯形乘积的正则剖分之间存在双射关系。
• 热带凸性为通过多面体结构研究系统发育树空间提供了自然框架。
• 本文指出，将热带多面体与内射包关联的定理29与推论30存在错误。
• 已发布勘误以更正定理29与推论30中的错误主张。
• 热带多面体与剖分之间的对应关系为热带凸集提供了组合分类工具。
• 研究结果通过多面体组合学在热带几何与离散几何之间建立了基础性联系。