[论文解读] Tropical Cramer Determinants Revisited

Marianne Akian, Stéphane Gaubert+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 29被引用 15

一句话总结

本文将Cramer法则推广至包含符号、重数或幅角信息的扩展tropical半环上的线性系统。通过广义Cramer行列式证明了tropical线性系统的存在性与唯一性定理，该行列式通过最优分配问题计算，且在T2和Smax中提供了基于加权有向图上的图论方法与分配有向图中环检测的多项式时间算法来计算行列式。

ABSTRACT

We prove general Cramer type theorems for linear systems over various extensions of the tropical semiring, in which tropical numbers are enriched with an information of multiplicity, sign, or argument. We obtain existence or uniqueness results, which extend or refine earlier results of Gondran and Minoux (1978), Plus (1990), Gaubert (1992), Richter-Gebert, Sturmfels and Theobald (2005) and Izhakian and Rowen (2009). Computational issues are also discussed; in particular, some of our proofs lead to Jacobi and Gauss-Seidel type algorithms to solve linear systems in suitably extended tropical semirings.

研究动机与目标

• 将Cramer型定理推广至包含符号、重数或幅角信息的扩展tropical半环上的线性系统。
• 通过引入符号非奇异性和最优排列的奇偶性，改进tropical线性代数中一般位置的概念。
• 为在T2和Smax等扩展半环中求解tropical线性系统并计算行列式，提供计算算法。
• 通过Puiseux域上的赋值映射，建立tropical线性代数与非阿基米德几何之间的联系。
• 基于存在性与唯一性定理的证明，开发适用于扩展半环中tropical线性系统的Jacobi与Gauss-Seidel型迭代算法。

提出的方法

• 将最优分配问题用作tropical行列式的类比，其中值对应于tropical永久式。
• 应用匈牙利算法计算最优分配，并识别分配问题中的最优排列。
• 从矩阵A构造一个加权有向图G，其中若aij = ui vj，则存在弧(i,j)，其中ui, vj为匈牙利算法中的对偶变量。
• 在G中检测环，以确定最优解的数量：存在任意环表示存在多个最优解，而偶环表示存在奇偶性不同的解。
• 对于Smax（对称化最大-加法半环），将矩阵分解为正部与负部A = A+ ⊖ A−，并使用分块行列式公式将计算简化至Rmax。
• 利用线性规划公式中收益函数的上半连续性与拟凹性，保证最大值在顶点处取得，从而确保仅当所有tropical永久式有限时，值才为有限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个唯一的tropical超平面可包含广义tropical半环中的n−1个向量？
• RQ2 tropical Cramer行列式如何扩展以包含符号或重数信息？这对解的唯一性有何含义？
• RQ3 在T2和Smax等扩展tropical半环中计算行列式的计算复杂度是多少？
• RQ4 如何通过分配有向图的图论性质确定tropical分配问题中最优解的数量？
• RQ5 能否将Gauss-Seidel或Jacobi等迭代方法适配于在扩展半环中求解tropical线性系统？其收敛性如何？

主要发现

• 在T2或Smax中，可通过在分配有向图G中检测环，以多项式时间计算tropical Cramer行列式。
• 对于A ∈ Mn(T2)，其行列式非零当且仅当|A|的最优分配问题有唯一解，且无对角元属于T◦2。
• 对于A ∈ Mn(Smax)，若G中存在属于S◦max的元素构成的环，或G中包含偶环，则det A = (per B)◦；否则det A = per B。
• 当A ∈ Mn(Smax)且所有对角元属于S◦max时，有det A = (per B)◦，表明存在非平凡的带符号行列式。
• 分块行列式公式det(A+ ⊖ A−) = det([A+ A−; I I])将Smax上行列式的计算简化为Rmax情形，从而实现多项式时间计算。
• 与最优对偶变量相关的有向图G中存在环，意味着存在多个最优排列，因此tropical行列式为奇异。