[论文解读] Tropical Geometry and Piecewise-Linear Approximation of Curves and Surfaces on Weighted Lattices

Petros Maragos, Emmanouil Theodosis|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2019

Polynomial and algebraic computation参考文献 79被引用 4

一句话总结

本文引入了加权格上的广义最大-⋆代数，统一了热带几何与数学形态学，通过形态学邻接运算实现曲线和曲面的最优分段线性逼近。推导出最大仿射回归与凸拟合的高效算法，将最大-加和最小-加框架扩展至任意可分配运算⋆。

ABSTRACT

Tropical Geometry and Mathematical Morphology share the same max-plus and min-plus semiring arithmetic and matrix algebra. In this chapter we summarize some of their main ideas and common (geometric and algebraic) structure, generalize and extend both of them using weighted lattices and a max-$\star$ algebra with an arbitrary binary operation $\star$ that distributes over max, and outline applications to geometry, machine learning, and optimization. Further, we generalize tropical geometrical objects using weighted lattices. Finally, we provide the optimal solution of max-$\star$ equations using morphological adjunctions that are projections on weighted lattices, and apply it to optimal piecewise-linear regression for fitting max-$\star$ tropical curves and surfaces to arbitrary data that constitute polygonal or polyhedral shape approximations. This also includes an efficient algorithm for solving the convex regression problem of data fitting with max-affine functions.

研究动机与目标

• 通过共享的最大-加/最小-加半环算术与基于格的代数，统一热带几何与数学形态学。
• 利用加权格与任意二元运算⋆（在最大上可分配）的广义最大-⋆代数，扩展两个领域。
• 使用形态学邻接运算作为加权格上的投影，推导最大-⋆方程的最优解。
• 实现最大-⋆热带曲线与曲面到任意数据的最优分段线性回归，包括多边形与多面体逼近。
• 提供基于广义框架的凸回归高效算法，使用最大仿射函数。

提出的方法

• 在完备格 (K, ∨, ∧, ⋆, ⋆′) 上定义最大-⋆代数，其中⋆在∨上可分配，推广最大-加与最小-加算术。
• 通过逐点运算将标量运算扩展至定义域E上的函数：(F ∨ G)(x) = F(x) ∨ G(x)，(a ⋆ F)(x) = a ⋆ F(x)。
• 引入⋆-平移 τ_a(F)(x) = a ⋆ F(x) 与对偶⋆′-平移 τ′_a(F)(x) = a ⋆′ F(x)，定义这些运算下的不变性。
• 分别将膨胀δ与腐蚀ε算子定义为Δ⋆I与E⋆I，其核表示为H(x,y) = δ(q_y)(x) 与 H′(x,y) = ε(q′_y)(x)。
• 推导统一表示：δ(F)(x) = ⋁_y H(x,y) ⋆ F(y) 与 ε(F)(x) = ⋀_y H′(x,y) ⋆′ F(y)，推广类似卷积的运算。
• 使用形态学邻接运算（伴随对）求解最大-⋆方程，并将数据投影到热带曲线/曲面上，实现最优拟合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过广义代数框架系统性地统一热带几何与数学形态学？
• RQ2 加权格在将最大-加与最小-加代数扩展至任意可分配运算⋆的过程中起什么作用？
• RQ3 如何利用加权格上的形态学邻接运算实现曲线与曲面的最优分段线性逼近？
• RQ4 该框架能否高效求解使用最大仿射函数的凸回归问题？
• RQ5 在广义最大-⋆代数中，膨胀与腐蚀算子的结构是什么，它们如何实现最优数据拟合？

主要发现

• 本文在加权格上建立了广义最大-⋆代数，通过共享的半环与格结构，统一了热带几何与数学形态学。
• 证明了当且仅当其核表示满足 δ(F)(x) = ⋁_y H(x,y) ⋆ F(y) 与 ε(F)(x) = ⋀_y H′(x,y) ⋆′ F(y) 时，膨胀δ与腐蚀ε算子在Δ⋆I与E⋆I下保持不变。
• 通过形态学邻接运算推导出最大-⋆方程的最优解，其作用如同加权格上的投影。
• 该框架实现了最大-⋆热带曲线与曲面到任意数据的最优分段线性拟合，可生成多边形或多面体逼近。
• 提供了基于广义代数结构的凸回归高效算法，使用最大仿射函数。
• 该理论推广了对数-求和-指数近似与马索夫去量化，表明最大-加半环是一族同构半环S_θ在θ↓0极限下的结果。