[论文解读] Tropical Geometry over Higher Dimensional Local Fields

Shilpak Banerjee|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文将经典热带几何中基于秩一赋值域的热带化推广至高维局部域上的代数环面的闭子概形，引入了高维局部域上的热带化理论。研究证明，n维局部域上d维不可约子概形的热带化形成一个维度为nd的有理多面体复形，且通过例子表明此类复形未必是纯维的。

ABSTRACT

We introduce the tropicalization of closed subschemes of a torus defined over a higher dimensional local field. We study the basic invariants of such tropicalizations. This is a generalization of the results of Einslieder, Kapranov, Lind, Speyer and Sturmfels to higher local fields.

研究动机与目标

• 将经典热带几何从秩一赋值域推广至具有字典序的向量值赋值的高维局部域。
• 定义并研究代数环面上n维局部域上闭、约化、不可约子概形的热带化。
• 将经典结果‘热带化是纯维的有理多面体复形’推广至高秩情形。
• 探究高维局部域上的热带化是否保持纯维性，并在不成立时构造反例。

提出的方法

• 定义向量值赋值 ν: (K^al)^× → Γ_R ≅ ℝ^n，采用字典序，推广经典热带几何中的秩一赋值。
• 构造热带化映射 Trop 作为坐标赋值的对偶，将环面上的点映射至 Hom(M, Γ_R)，其中 M 为特征格。
• 利用逐层重影映射 r_j^n: Trop^{(n)}(X) → Trop^{(j)}(X)，对j维局部域上的热带化维度进行归纳分析。
• 为超曲面引入n重扩展牛顿多面体，以提供维度公式的几何证明。
• 在各种权重条件下分析多项式的首项退化，通过退化表计算热带化。
• 应用凸子群与有序阿贝尔群的理论，处理高秩赋值群的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何正确推广代数环面上高维局部域上子概形的热带化？
• RQ2 n维局部域上d维闭、约化、不可约子概形的热带化维度为何？
• RQ3 高维局部域上的热带化是否仍为纯维的有理多面体复形，如经典情形所示？
• RQ4 能否构造显式例子，使得热带化不具纯维性？
• RQ5 首项退化与权重条件如何决定高秩情形下热带化的结构？

主要发现

• n维局部域上代数环面的d维闭、约化、不可约子概形的热带化是一个维度为nd的有理多面体复形。
• 对于超曲面，通过n重扩展牛顿多面体独立证明了维度结果，推广了Einslieder、Kapranov与Lind的构造。
• 构造了一个显式例子：在 ℂ((t₁))((t₂)) 上，某超曲面的热带化非纯维，其最大面连接点 (1,0,0.5,0) 与 (2,0,1,0)。
• 在高维局部域中，热带化映射未必是纯维的，与经典纯维性结果矛盾。
• 赋值群 Γ_R ≅ ℝ^n 携带字典序，引入了不对称性，并使赋值向代数闭包的扩张变得复杂。
• 高维局部域理论为热带几何提供了自然推广，潜在应用于解析化与高秩赋值上的格罗布纳基理论。